8+ công thức cấp số nhân đầy đủ

Giống như cấp số cộng thì cấp số nhân là một phép toán thường gặp trong đề thi THPT quốc gia. Bài viết này sẽ giúp bạn hệ thống lại các kiến thức về lý thuyết, công thức cấp số nhân, … và một số bài tập có lời giải chi tiết

Cấp số nhân là gì?

Một dãy số hữu hạn (hoặc vô hạn) mà tỷ số giữa hai số liên tiếp là một hằng số d thì dãy số đó là cấp số nhân (CSN).

Cơ sở lý thuyết

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) (hữu hạn hoặc vô hạn) là cấp số nhân \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = q.{u_n},\forall n \ge 1,n \in {N^*}\)

• Công bội của cấp số nhân ký hiệu là q
• u$_n$ và

Tính chất

•  \(u_k^2 = {u_{k – 1}}.{u_{k + 1}},\forall k \ge 2\)
• Số hạng tổng quát: \({u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}},n \ge 2\).
•  Tổng n số hạng đầu: ${S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}}$
• Khi q = 0 thì dãy là \({u_1};0;0;…;0;…\) và \({S_n} = {u_1}\)
• Khi q = 1 thì dãy có đạng \({u_1};{u_1};{u_1};…;{u_1};…\)và \({S_n} = n.{u_1}\)
• Khi \({u_1} = 0\) thì với mọi q, cấp số nhân có dạng \(0;0;0;…;0;…\)và \({S_n} = 0\)

Phân dạng bài tập cấp số nhân

Dạng 1: Nhận biết CSN

Bước 1: Tính $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}},\forall n \ge 1$

Bước 2: Kết luận:

• Nếu q là số không đổi thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là CSN.
• Nếu q thay đổi theo n thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) không là CSN.

Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân

Sử dụng các tính chất của CSN, biến đổi để tính công bội của CSN.

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}},n \ge 2\)

Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy

Để tính tổng của CSN với n số hạng đầu tiên trong dãy số, ta sử dụng công thức:

${S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}}$

Dạng 5: Tìm CSN

• Tìm các yếu tố xác định một CSN như: số hạng đầu \({u_1}\), công bội q.
• Tìm công thức cho số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}},n \ge 2\).

Bài tập cấp số nhân

Bài 1. [Đề thi thử sở Quảng Bình] Cho CSN $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – \frac{1}{2};{\text{ }}{{\text{u}}_7} = – 32$. Tìm q?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức số hạng tổng quát CSN ta có

$\begin{array}{l} {u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} \Rightarrow {u_7} = {u_1}.{q^6}\\ \Rightarrow {q^6} = 64 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} q = 2\\ q = – 2 \end{array} \right. \end{array}$

Câu 2. [Đề thi thử Chuyên KHTN ] Cho CSN $\left( {{u_n}} \right)$ với${u_1} = – 2;{\text{ q = – 5}}$. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát u$_n$ ?

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} {u_2} = {u_1}.q = \left( { – 2} \right).\left( { – 5} \right) = 10;{\rm{ }}\\ {{\rm{u}}_3} = {u_2}.q = 10.\left( { – 5} \right) = – 50;\\ {\rm{ }}{{\rm{u}}_4} = {u_3}.q = – 50.\left( { – 5} \right) = 250 \end{array}$
Số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}} = \left( { – 2} \right).{\left( { – 5} \right)^{n – 1}}$.

Bài 3. [Đề thi thử sở Thái Bình ] Cho CSN $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – 1;{\text{ }}q = \frac{{ – 1}}{{10}}$. Số $\frac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ mấy của $\left( {{u_n}} \right)$ ?

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} {u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}} \Rightarrow \frac{1}{{{{10}^{103}}}} = – 1.{\left( { – \frac{1}{{10}}} \right)^{n – 1}}\\ \Rightarrow n – 1 = 103 \Rightarrow n = 104 \end{array}$

Bài 4 ( trang 55 KNTT toán 11)

Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng.

Hướng dẫn giải

Ta có: \({u_0} = 3,\;q = 1- 0,2 = 0,8\).

Giá trị của máy ủi sau 1 năm là: \({u_1} = 3.0,8 = 2,4\)

Giá trị của máy ủi sau n năm là: \({u_n} = {u_1}.q^{n-1} = 2,4 \times {0,8^{n – 1}}\)

Vậy sau 5 năm sử dụng giá trị của máy ủi là: \({u_5} = 2,4 \times {0,8^{5 – 1}} = 0,98304\) (tỉ đồng) = 983 040 000 (đồng).

Bài 5 ( trang 60 CTST toán 11) 

Ba số \(\frac{2}{{b – a}},\frac{1}{b},\frac{2}{{b – c}}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn giải

Ba số \(\frac{2}{{b – a}},\frac{1}{b},\frac{2}{{b – c}}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:

${\frac{2}{{b – a}} + \frac{2}{{b – c}} = 2.\frac{1}{b}}$ ${ \Leftrightarrow \frac{1}{{b – a}} + \frac{1}{{b – c}} = \frac{1}{b}}$ ${ \Leftrightarrow \frac{{\left( {b – c} \right) + \left( {b – a} \right)}}{{\left( {b – a} \right)\left( {b – c} \right)}} = \frac{1}{b}}$ ${ \Leftrightarrow \frac{{b – c + b – {\rm{a}}}}{{{b^2} – ab – bc + ac}} = \frac{1}{b}}$ ${ \Leftrightarrow \frac{{2b – c – {\rm{a}}}}{{{b^2} – ab – bc + ac}} = \frac{1}{b}}$

⇔ b(2b – c – a) = b² – ab – bc + ac

⇔ 2b² – bc – ab = b² – ab – bc + ac

⇔ b² = ac

Vậy ba số \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Bài 6 ( trang 55 Cùng Khám Phá toán 11)

Vào tháng 4/2022, giá thuê một căn hộ là 4 triệu đồng/tháng. Sau một quý thì giá thuê tăng thêm 5%/tháng so với giá của quý trước đó. Tính giá thuê căn hộ đó vào tháng 01/2025.

Hướng dẫn giải

Gọi \({u_1}\) là giá thuê của căn hộ sau của quý đầu tiên, \({u_2}\) là giá thuê căn hộ của quý thứ hai.

\( \Rightarrow {u_1} = 4;{u_2} = 4 + 4.5\% = 4,2\)

\( \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{4,2}}{4} = 1,05\)

Tương tự với \({u_3},{u_4},…\)Ta lập được cấp số nhân với \({u_1} = 4;q = 1,05\).

Tháng 01/2025 là quý thứ 12. Vậy giá thuê căn hộ vào tháng 01/2025 là \({u_{12}} = {u_1}.{q^{11}} = 4.{\left( {1,05} \right)^{11}} \approx 6,84\) (triệu đồng/tháng).

Bài 7 ( trang 55 Cùng Khám Phá toán 11)

Một tảng băng khối lượng 1 tấn đang tan chảy. Cứ mỗi giờ, tảng băng mất đi \(\frac{1}{5}\) khối lượng của nó. Tính khối lượng còn lại của tảng băng sau 6 giờ.

Hướng dẫn giải

Gọi \({u_1}\) là khối lượng tảng băng sau 1 giờ, \({u_2}\) là khối lượng tảng băng sau 2 giờ.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {u_1} = 1 – 1.\frac{1}{5} = 0,8;{u_2} = \frac{4}{5} – \frac{4}{5}.\frac{1}{5} = 0,64\\ \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{0,8}}{{0,64}} = 1,25\end{array}\)

Tương tự với \({u_3},{u_4},…\)Ta lập được cấp số nhân với \({u_1} = 0,8,q = 1,25\).

Vậy khối lượng còn lại của tảng băng sau 6 giờ là \({u_6} = {u_1}.{q^5} = 0,8.1,{25^5} = 0,262144\) (tấn).

Bài 8 ( trang 55 Cùng Khám Phá toán 11)

lodine – 131 là một đồng vị phóng xạ được sử dụng trong chẩn đoán y tế. Chu kì bán rã của nó là tám ngày. Nghĩa là sau tám ngày, khối lượng của nó chỉ còn một nửa. Tính khối lượng còn lại của 160 mg lodine – 131 sau 64 ngày. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị (mg).

Hướng dẫn giải

Gọi \({u_1}\) là khối lượng của lodine – 131 sau chu kì bán rã đầu tiên \( \Rightarrow {u_1} = \frac{{160}}{2} = 80\)

Cứ sau 1 chu kì bán rã, khối lượng chỉ còn lại một nửa nên ta lập được cấp số nhân với \( \Rightarrow {u_1} = \frac{{160}}{2} = 80;q = \frac{1}{2}\).

Cứ 8 ngày là 1 chu kì nên 64 ngày là 8 chu kì.

Vậy khối lượng còn lại sau 64 ngày là \({u_8} = {u_1}.{q^7} = 80.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^7} \approx 1\)(mg).

Bài 9 ( trang 55 Cùng Khám Phá toán 11)

Một tỉnh B có dân số 1 500 000 người vào năm 2014. Giả sử tỉ lệ tăng dân số không đối là 1,25%/năm. Tính dân số của tỉnh đó vào năm 2025. Làm tròn kết quả đến hàng chục.

Hướng dẫn giải

Gọi dân số năm 2014 là \({u_1}\), dân số năm 2015 là \({u_2}\). Suy ra:

• u₁ = 1500000;
• u₂ = 1500000 + 1,25%.15000000 = 1518750

${ \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 1,0125}$

Tương tự với \({u_3},{u_4},…\) Ta lập được cấp số nhân với \({u_1} = 1500000,q = 1,0125\).

Vậy dân số năm 2025 là \({u_{11}} = {u_1},{q^{10}} = 1500000.1,{0125^{10}} \approx 1698410\)(người).

Bài 10 ( trang 55 KNTT toán 11)

Vào tháng 4/2022, giá thuê một căn hộ là 4 triệu đồng/tháng. Sau một quý thì giá thuê tăng thêm 5%/tháng so với giá của quý trước đó. Tính giá thuê căn hộ đó vào tháng 01/2025.

Hướng dẫn giải

Gọi \({u_1}\) là giá thuê của căn hộ sau của quý đầu tiên, \({u_2}\) là giá thuê căn hộ của quý thứ hai.

\( \Rightarrow {u_1} = 4;{u_2} = 4 + 4.5\% = 4,2\)

\( \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{4,2}}{4} = 1,05\)

Tương tự với \({u_3},{u_4},…\)Ta lập được cấp số nhân với \({u_1} = 4;q = 1,05\).

Tháng 01/2025 là quý thứ 12. Vậy giá thuê căn hộ vào tháng 01/2025 là \({u_{12}} = {u_1}.{q^{11}} = 4.{\left( {1,05} \right)^{11}} \approx 6,84\) (triệu đồng/tháng).

Bài 11 ( trang 55 KNTT toán 11)

Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kế trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp.

Hướng dẫn giải

Ta có: \({u_1} = 50,\;q = 0,5\)

Tổng lượng thuốc trong máu sau khi dùng 10 ngày liên tiếp là:

\({S_n} = \frac{{50\left[ {1 – {{\left( {0,5} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 – 0,5}} = 99,902\) (mg).

Bài 12 ( trang 60 CTST toán 11)

Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút.

Hướng dẫn giải

Số lượng vi khuẩn trong ống nghiệm sau \(n\) phút là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = 2\).

Số lượng vi khuẩn ban đầu là \({u_1} = 1\).

Số lượng vi khuẩn sau 1 phút là \({u_2}\).

Số lượng vi khuẩn sau 2 phút là \({u_3}\).

…

Số lượng vi khuẩn trong ống nghiệm sau 20 phút là:

\({u_{21}} = {u_1}.{q^{n – 1}} = {1.2^{21 – 1}} = 1048576\) (vi khuẩn).

Bài 13 ( trang 60 KNTT toán 11)

Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công bội bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 5115?

Hướng dẫn giải

Ta có: \({S_n} = \frac{{5\left( {1 – {2^n}} \right)}}{{1 – 2}} = – 5 + 5 \times {2^n}\;\)

\(\begin{array}{l}5115 = – 5 + {5.2^n}\\ \Leftrightarrow {2^n} = 1024 = 2.\\ \Rightarrow n = 10.\end{array}\)

Vậy phải lấy tổng 10 số hạng đầu.

Bài 14 ( trang 61 CTST toán 11)

Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ được dây an toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược lên 60% chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện cú nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là 9 m.

a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba.

b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu.

Hướng dẫn giải

a) Độ cao nảy ngược lên của người đó là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 9\) và công bội \(q = 60\% = 0,6\).

Độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba là: \({u_3} = {u_1}.{q^2} = 9.{\left( {0,6} \right)^2} = 3,24\) (m).

b) Tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu là:

\({S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^5}} \right)}}{{1 – q}} = \frac{{9\left( {1 – {{\left( {0,6} \right)}^5}} \right)}}{{1 – 0,6}} = 20,7504\) (m)

Bài 15 ( trang 60 KNTT toán 11)

Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này.

Hướng dẫn giải

Số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1} \times {q^{n – 1}}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = {u_1}{q^5} = 96\\{u_3} = {u_1}{q^2} = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^2}.{q^3} = 96\\{u_1}{q^2} = 12\end{array} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12.{q^3} = 96\\{u_1}{q^2} = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {u_n} = 3 \times {2^{n – 1}}\).

Số hạng thứ 50: \({u_{50}} = 3 \times {2^{50 – 1}} = 3 \times {2^{49}}\).

Hy vọng với bài viết hệ thống lại toàn bộ lý thuyết, công thức, bài tập có lời giải ở trên hữu ích cho các bạn. Mọi góp ý và thắc mắc các bạn vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để daoham.com ghi nhận và hỗ trợ