Đạo hàm

Kiến thức đạo hàm là phần quan trọng trong chương trình THPT. Để học tốt toán về hàm số bạn cần hiểu và học tốt lý thuyết.

công thức đạo hàm

I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1.Định nghĩa đạo hàm tại một điểm: 

– Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b)x_0 \in (a; b):
f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}   (\Delta x = x - x_0, \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)
– Nếu hàm số  y = f(x) có đạo hàm tại x_0thì nó liên tục tại điểm đó.

2.Ý nghĩa của đạo hàm:

a)Ý nghĩa hình học: 
–  f'(x_0) là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M\left( {{x_0};f({x_0})} \right).
– Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M\left( {{x_0};f({x_0})} \right) là: y - y_0 = f'(x_0).(x - x_0)
b)Ý nghĩa vật lí:
– Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t_0v(t_0) = s'(t_0).
– Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t_0I(t_0) = Q'(t_0).

3.Qui tắc tính đạo hàm:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{Hàm số sơ cấp} & \textbf{Hàm hợp} && \textbf{Hàm số sơ cấp} & \textbf{Hàm hợp} \\ \hline (C)'=0 &&&(\sin{x})'=\cos{x}&(\sin{u})'=u'\cos{u} \\ \hline (x)'=0 &&&(\cos{x})'=-\sin{x}&(\cos{u})'=-u'\sin{u} \\ \hline (x^n)'=1 &(u^n)'=n.u^{n-1}.u'&&(\tan{x})'=\frac{1}{\cos^2{x}}&(\tan{u})'=\frac{u'}{\cos^2{u}} \\ \hline (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}&(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}&&(\cot{x})'=-\frac{1}{\sin^2{x}}&(\cot{u})'=-\frac{u'}{\sin^2{u}} \\ \hline \end{array}

Chú ý: Các phép toán tính đạo hàm:
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \textbf{Phép toán} & \textbf{Công thức} & \textbf{Trường hợp riêng} \\ \hline Cộng & (u+v)'=u'+v'& \\ \hline Trừ & (u-v)'=u'-v'& \\ \hline Nhân & (uv)'=u'v+uv' & (ku)'=ku' \\ \hline Chia & (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2} & (\frac{1}{v})'=-\frac{v'}{v^2} \\ \hline \end{array}

Chú ý: Khi lấy đạo hàm của một hàm số thì ta nhìn từ trái sang phải và ưu tiên cho phép toán.

5.Vi phân:

  • dy = df(x) = f\prime (x).\Delta x
  • f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f\prime ({x_0}).\Delta x

6.Đạo hàm cấp cao:

  •  Công thức: f''(x) = {\left[ {f'(x)} \right]^\prime }; f'''(x) = {\left[ {f''(x)} \right]^\prime }{f^{(n)}}(x) = {\left[ {{f^{(n - 1)}}(x)} \right]^\prime } (n \in \mathbb{N}, n \ge 4)
  • Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t_0a(t_0) = f''(t_0).

II.CÁC DẠNG BÀI TẬP.

 

Vấn đề 1: Tính đạo hàm của hàm số:

Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Phương pháp: Nếu tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x_0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước:

  • Bước 1: Giả sử \Delta x là số gia của đối số tại x_0. Tính \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0).
  • Bước 2: Tính \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.
  • Bước 3: Kết luận.

Ví dụ 1: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của các hàm số sau: y\, = \,\,f(x)\,\, = \,\,2{x^2} - x tại {x_0} = 1.

Giải

– Giả sử \Delta{x} là số gia của đối số tại x_0 = 1.
Khi đó: \Delta y\, = \,\,f(\Delta x + 1)\, - f(1)\, = \,\,2{(\Delta x + 1)^2} - \Delta x - 1 - 1 = 2\Delta {x^2} + 3\Delta x.
– Tính \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\Delta {x^2} + 3\Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2\Delta x + 3} \right) = 3.
– Vậy: f'(1) = 3

Ví dụ 2: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số sau: f(x)\,\, = \,\,{x^2} - 3x

Giải:

– Giả sử \Delta x là số gia của đối số tại x.
Khi đó: \Delta y\, = \,\,f(\Delta x + x)\, - f(x)\, = \,\,{(\Delta x + x)^2} - 3\Delta x - 3x - {x^2} + 3x = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2x\Delta x = \Delta x(\Delta x + 2x).
– Tính \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta x(\Delta x + 2x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2x} \right) = 2x.
– Vậy: f'(x) = 2x

Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra:
a) y\, = \,\,f(x)\,\, = \,\,2{x^2} - x + 2 tại {x_0} = 1

b) y\, = \,\,f(x)\,\, = \,\,\sqrt {3 - 2x} tại {x_0} = -3

c) y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} tại {x_0} = 2

d) y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\sin x tại x_0 =\frac{\pi}{6}

e) y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\sqrt[3]{x} tại x_0 = 1

f) y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}} tại x_0 = 0

Bài tập 2: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số sau:
a) f(x)\,\, = \,\,{x^2} - 3x + 1

b) f(x)\,\, = \,\,\sqrt {x + 1} ,\,\,(x\,\, > \,\, - 1)

c) f(x)\,\, = \,\,\frac{1}{{2x - 3}}

d) f(x)\,\, = \,\,\sin x

Dạng 2: Tính đạo hàm bằng phép toán:

Phương pháp: Sử dụng công thức cho trong bảng sau:

Phép toán Công thức
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \textbf{Phép toán} & \textbf{Công thức} & \textbf{Trường hợp riêng} \\ \hline Cộng & (u+v)'=u'+v'& \\ \hline Trừ & (u-v)'=u'-v'& \\ \hline Nhân & (uv)'=u'v+uv' & (ku)'=ku' \\ \hline Chia & (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2} & (\frac{1}{v})'=-\frac{v'}{v^2} \\ \hline \end{array}

Ví dụ 1: y\,\, = \,2{x^4} - \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - 5 \Rightarrow y' = 8{x^3} - {x^2} + 4x

Ví dụ 2: y\,\, = \,\,\frac{{2x + 1}}{{1 - 3x}} \Rightarrow y' = \frac{{(2x + 1)'(1 - 3x) - (2x + 1)(1 - 3x)'}}{{{{(1 - 3x)}^2}}} = \frac{{2(1 - 3x) + 3(2x + 1)}}{{{{(1 - 3x)}^2}}} = \frac{5}{{{{(1 - 3x)}^2}}}

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y\,\, = \,2{x^4} - \frac{1}{3}{x^3} + 2\sqrt x  - 5

b) y\,\, = \,\,\frac{3}{{{x^2}}} - \sqrt x  + \frac{2}{3}x\sqrt x

c) y\,\, = \,\,({x^3} - 2)(1 - {x^2})

d) y\,\, = \,\,({x^2} - 1)({x^2} - 4)({x^2} - 9)

e) y = ({x^2} + 3x)(2 - x)

f) y\,\, = \,\,\left( {\sqrt x  + 1} \right)\,\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} - 1} \right)

g) y\,\, = \,\,\frac{3}{{2x + 1}}

h) y\,\, = \,\,\frac{{2x + 1}}{{1 - 3x}}

i) y = \frac{{1 + x - {x^2}}}{{1 - x + {x^2}}}

k) y\,\, = \,\,\frac{{{x^2} - 3x + 3}}{{x - 1}}

Bài tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y\,\, = \,x.c{\rm{osx}}

b) y\,\, = \,\,{x^2}.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}

c) y\,\, = \,\,x.\sqrt x

d) y = \frac{{1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}

Dạng 3: Tính đạo hàm hàm hợp:

Phương pháp: Sử dụng công thức cho bởi bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{Hàm số sơ cấp} & \textbf{Hàm hợp} && \textbf{Hàm số sơ cấp} & \textbf{Hàm hợp} \\ \hline (C)'=0 &&&(\sin{x})'=\cos{x}&(\sin{u})'=u'\cos{u} \\ \hline (x)'=0 &&&(\cos{x})'=-\sin{x}&(\cos{u})'=-u'\sin{u} \\ \hline (x^n)'=1 &(u^n)'=n.u^{n-1}.u'&&(\tan{x})'=\frac{1}{\cos^2{x}}&(\tan{u})'=\frac{u'}{\cos^2{u}} \\ \hline (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}&(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}&&(\cot{x})'=-\frac{1}{\sin^2{x}}&(\cot{u})'=-\frac{u'}{\sin^2{u}} \\ \hline \end{array}

Chú ý: Sau các hàm không phải x thì ta sử dụng hàm hợp u. Để khỏi quên thì các em có thể sử dụng tất cả các bài toán đều cho hàm hợp u vẫn được.

Ví dụ 1: y\,\, = \,\,{({x^2} + x)^4} \Rightarrow y' = 4{({x^2} + x)^3}.({x^2} + x)' = 4(2x + 1){({x^2} + x)^3}

Ví dụ 2: y\,\, = \,\,\sqrt {2{x^2} - 5x}  \Rightarrow y' = \frac{{(2{x^2} - 5x)'}}{{2\sqrt {2{x^2} - 5x} }} = \frac{{4x - 5}}{{2\sqrt {2{x^2} - 5x} }}

Ví dụ 3:y\,\, = \,\,{\sin ^3}(2x + 1) \Rightarrow y' = 3{\sin ^2}(2x + 1).(\sin (2x + 1))' = 3{\sin ^2}(2x + 1).c{\rm{os}}(2x + 1)(2x + 1)' = 6{\sin ^2}(2x + 1).c{\rm{os}}(2x + 1)

Ví dụ 4: y = \sqrt {\sin x + 2x}  \Rightarrow y' = \frac{{({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + 2x}})'}}{{2\sqrt {\sin x + 2x} }} = \frac{{c{\rm{osx + 2}}}}{{2\sqrt {\sin x + 2x} }}

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y\,\, = \,\,{({x^2} + x + 1)^4}

b) y\,\, = \,\,{(1 - 2{x^2})^5}

c) y\,\, = \,\,{\left( {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right)^3}

d) y\,\, = \,\,\frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{{(x - 1)}^3}}}

Bài tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y\,\, = \,\,\sqrt {2{x^2} - 5x + 2}

b)  y\,\, = \,\,\sqrt[3]{{{x^3} - x + 2}}

c) y\,\, = \,\,\sqrt {x + \sqrt x }

d) y\,\, = \,\,(x - 2)\sqrt {{x^2} + 3}

Bài tập 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y\, = \,\,{\left( {\frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^2}

b)  y\,\, = \,\,{\cos ^4}(2x)

c) y\,\, = \,\,{\sin ^3}(2x + 1)

d) y\,\, = \,\,\sqrt {\cot 2x}

e) y\,\, = \,\sin \left( {{{\cos }^2}x{{\tan }^2}x} \right)

f) y\,\, = \,\,{\cos ^2}\left( {\frac{{\sqrt {2x}  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}} \right)

Dạng 4: Tính đạo hàm cấp cao:

Phương pháp:

1.Để tính đạo hàm cấp 2,\, 3,\, 4,\, ...ta dung công thức:    {y^{(n)}}\,\, = \,\,{({y^{n - 1}})^/}.

2.Để tính đạo hàm cấp n:

  • Tính đạo hàm cấp 1,\, 2,\, 3, ... từ đó suy ra công thức  đạo hàm cấp n.
  • Dùng phương pháp quy nạp toán học nêu chứng minh công thức đúng.

Ví dụ 1: Cho hàm số  f(x) = 3(x + 1)\sin x. Tính f''(\pi ).

Giải

f'(x) = 3(x + 1)'\sin x + 3(x + 1)\left( {\sin x} \right)' = 3\sin x + 3(x + 1)c{\rm{osx}}
f''(x) = 3c{\rm{os}}x + 3(x + 1)'c{\rm{osx + }}3(x + 1)\left( {c{\rm{osx}}} \right)' = 3\cos x + 3\cos x - 3(x + 1){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}
f''(\pi ) = 3\cos \pi  + 3\cos \pi  - 3(\pi  + 1){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\pi  =  - 6

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp n của hàm số: y = \frac{1}{x}.

Giải

Ta có:f'(x) =  - \frac{1}{{{x^2}}}

f''(x) = \frac{{1.2}}{{{x^3}}}

f'''(x) = \frac{{1.2.3}}{{{x^4}}}

….

{f^{(n)}}(x) = \frac{{{{( - 1)}^n}n!}}{{{x^{n + 1}}}}

Suy ra: {\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\left( n \right)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}

Thật vậy: Khi n = 1: Ta có: {\left( {\frac{1}{x}} \right)^{'}} = \frac{{( - 1).1!}}{{{x^2}}} =  - \frac{1}{{{x^2}}}.

Vậy: Mệnh đề đúng khi n = 1.

– Khi n = k > 1, tức là {\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\left( k \right)}} = \frac{{{{( - 1)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}.

Ta cần chứng minh: n = k + 1, tức là {\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\left( k \right) + 1}} = \frac{{{{( - 1)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}

Ta có: {\left({\frac{1}{x}}\right)^{\left({k + 1}\right)}}= {\left[{{{\left( {\frac{1}{x}}\right)}^k}}\right]^{'}}= {\left[{\frac{{{{(-1)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}}\right]^{'}} = {(-1)^k}.k!{\left[{\frac{1}{{{x^{k+1}}}}}\right]^{'}}= \frac{{{{( - 1)}^{k + 1}}.(k + 1)!}}{{{x^{k + 2}}}}.

Vậy: Mệnh đề đúng khi n =k+ 1.

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Cho hàm số  f(x) = 3(x + 1)\cos x.

a) Tính  f'(x),f''(x)

b) Tính f''(\pi ),\,\,f''\left( {\frac{\pi }{2}} \right),f''(1)

 

Bài tập 2: Tính đạo hàm của hàm số theo cấp được chỉ ra:

a) y = \cos x,\,\,y'''

b) y = 5{x^4} - 2{x^3} + 5{x^2} - 4x + 7,\,\,y''

c)y = \frac{{x - 3}}{{x + 4}},\,\,y''

d) y = \sqrt {2x - {x^2}} ,\,\,y''

e) y = x\sin x,\,\,y''

Bài tập 3: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:

a) {\left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)^{(n)}} = \,\frac{{{{( - 1)}^n}n!}}{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}

b) {(\sin x)^{(n)}} = \,\,\sin \left( {x + \frac{{n.\pi }}{2}} \right)

c) {(\cos x)^{(n)}} = \,\,\cos \left( {x + \frac{{n.\pi }}{2}} \right)

Bài tập 4: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

a)  y\,\, = \,\,\frac{1}{{x + 2}}

b) y\,\, = \,\,\frac{1}{{{x^2} - 3x + 2}}

c) y\,\, = \,\,\frac{x}{{{x^2} - 1}}

d) y = \frac{{1 - x}}{{1 + x}}

e) y = {\sin ^2}x

f) y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x

Vấn đề 2: Ứng dụng của đạo hàm:

Dạng 1: Tính giới hạn của hàm số:

Phương pháp:

  • Ta sử dụng công thức tính giới hạn lượng giác sau: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin u(x)}}{{u(x)}} = 1 (với \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} u(x) = 0).
  • Ta sử dụng công thức: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P'(x)}}{{Q'(x)}} (lưu ý chỉ sử dụng khi giới hạn có dạng \frac{0}{0})

Ví dụ 1:

Cách 1: \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \,\,\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^3} + {x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{5}{3}

Cách 2: \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \,\,\frac{{5{x^4}}}{{3{x^2}}} = \frac{5}{3}

Ví dụ 2:

Cách 1: \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x}}{{\sin 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{5\sin 5x}}{{5x}}}}{{\frac{{4\sin 4x}}{{4x}}}} = \frac{5}{4}\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5\sin 5x}}{{5x}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4\sin 4x}}{{4x}}}} = \frac{5}{4}

Cách 2: \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x}}{{\sin 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5c{\rm{os}}5x}}{{4c{\rm{os}}4x}} = \frac{{5\cos (5.0)}}{{4\cos (4.0)}} = \frac{5}{4}

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^3} - {x^2} - x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 2{x^2} + 1}}

c) \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}}

d) \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \,\,\frac{{{x^3} - 5{x^2} + 3x + 9}}{{{x^4} - 8{x^2} - 9}}

e) \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{x - 5{x^5} + 4{x^6}}}{{{{(1 - x)}^2}}}\,\,\,

f) \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^m} - 1}}{{{x^n} - 1}}\,\,\,

g) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) - 1}}{x}

h) \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + {x^2} + ... + {x^n} - n}}{{x - 1}}

i) \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} + 2{x^2}}}

Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt {4x + 1}  - 3}}{{{x^2} - 4}}

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}}.

c) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + {x^2}}  - 1}}{x}

d) \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2}  - 2}}{{\sqrt {x + 7}  - 3}}

e) \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2x + 2}  - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}

f) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 16}  - 4}}

g) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x}  - 1}}{{\sqrt[3]{{1 + x}} - 1}}

h) \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \frac{{x + \sqrt {3 - 2x} }}{{{x^2} + 3x}}

i) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 9}  + \sqrt {x + 16}  - 7}}{x}

Bài tập 3: Tìm các giới hạn sau:

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \,\,\frac{{\sqrt {4x + 1}  - 3}}{{{x^2} - 4}}

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}}.

c) \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 + x}  - 1}}{{\sqrt[3]{{1 + x}} - 1}}

d) \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 9}  + \sqrt {x + 16}  - 7}}{x}

Bài tập 4: Tìm các giới hạn sau:
a) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\,\frac{{\sqrt {1 + x}  - \sqrt[3]{{1 + x}}}}{x}

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{{x^2} - 3x + 2}}

c) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sqrt {1 + x}  - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}

g) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 4x} .\sqrt {1 + 6x}  - 1}}{x}

h) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 4x}} - 1}}{x}

i) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt {1 - x} }}{x}

Bài tập 5: Tìm các giới hạn sau:

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \,\,\frac{{\sqrt {1 + x}  - \sqrt[3]{{1 + x}}}}{x}

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \,\,\frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{{x^2} - 3x + 2}}

c) \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2\sqrt {1 + x}  - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}

d) \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 + 4x}  - \sqrt[3]{{1 + 6x}}}}{{{x^2}}}

e) \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{2{x^2} - 5x + 2}}

f) \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {5 - {x^3}}  - \sqrt[3]{{{x^2} + 7}}}}{{{x^2} - 1}}

g) \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 + 4x} .\sqrt {1 + 6x}  - 1}}{x}

h) \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 4x}} - 1}}{x}

Bài tập 6: Tính các giới hạn sau:

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{{\sin 2x}}

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}}}

c)\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{1 - \sin x}}{{{{\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}^2}}}

d) \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos 2x}}

e) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + \sin x - \cos x}}{{1 - \sin x - \cos x}}

f) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan 2x}}{{\sin 5x}}

g) \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\tan x

h) \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{6}} \frac{{\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \cos x}}

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến:

Phương pháp:

1.Phương trình tiếp tuyến tai điểm M(x_0; y_0) \in C là: \,\,\,\,y - {y_0}\,\, = \,\,f'({x_0})(x - {x_0})\,\,\,\,\,\, (*)

2.Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k:

  • Bước 1: Gọi x_0 là hoành độ tiếp điểm. Ta có:  f\prime ({x_0}) = k (Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm)
  •  Bước 2: Giải phương trình tìm x_0, rồi tìm{y_0}\,\, = \,\,f({x_0}).
  • Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm theo công thức (*).
  • Bước 4: Kết luận

3.Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua một điểm A(x_1; y_1) cho trước:

  • Bước 1: Gọi  (x_0; y_0) là tiếp điểm (với y_0 = f(x_0)).
  • Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d):
    (d) qua A({x_1},\,\,{y_1})\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{y_1} - {y_0}\,\, = \,\,f'({x_0})\,\,({x_1} - {x_0})\,\,\,\,(1)
  •  Bước 3: Giải phương trình (1) với ẩn là x_0, rồi tìm {y_0} = f({x_0})f'({x_0}).
  • Bước 4: Từ đó viết phương trình tiếp tuyến tại điểm theo công thức (*).

Chú ý: Cho (\Delta): y = ax + b. Khi đó:

  •  (d)\, /  / \,(\Delta )\,\,\, \Rightarrow \,\,{k_d} = a
  • (d)\,\, \bot \,\,(\Delta )\,\,\, \Rightarrow \,\,{k_d} =  - \frac{1}{a}

Ví dụ : Cho hàm số (C)y\,\, = \,\,f(x)\,\, = \,{x^2} - 2x Viết phương trình tiếp tuyến với (C):

a) Tại điểm có hoành độ x_0 = 1.

b) Tại điểm có tung độ y_0=0

c) Tại điểm M(0;0).

d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 2.

Giải:
a) Tại điểm có hoành độ x_0 = 1.
{x_0}\,\, = \,1 \Rightarrow {y_0} =  - 1
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm A\left( {1; - 1} \right): y + 1 = y'(1)(x - 1) \Leftrightarrow y =  - 1

b) Tại điểm có tung độ {y_0}\,\, = \,0

{x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.

– Phương trình tiếp tuyến tại điểm A\left( {0;0} \right): y - 0 = y'(0)(x - 0) \Leftrightarrow y = 2x

– Phương trình tiếp tuyến tại điểm A\left( {2;0} \right): y - 0 = y'(2)(x - 2) \Leftrightarrow y = 2x - 4

c) Tại điểm M(0;0).

– Phương trình tiếp tuyến tại điểm A\left( {0;0} \right): y - 0 = y'(0)(x - 0) \Leftrightarrow y = 2x

d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 2.

– Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Ta có:  f\prime ({x_0}) = 2 \Leftrightarrow 2{x_0} - 2 = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \Rightarrow A(2;0)

– Phương trình tiếp tuyến tại điểm A\left( {2;0} \right): y - 0 = y'(2)(x - 2) \Leftrightarrow y = 2x - 4

– Vậy: Pttt: y = 2x - 4

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Cho hàm số (C)y\,\, = \,\,f(x)\,\, = \,{x^2} - 2x + 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C):

a) Tại điểm có hoành độ x_0= 1.

b) Tại điểm có tung độ y_0=3

c) Tại điểm M(0;3).

d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 2.

e) Song song với đường thẳng 4x - 2y + 5 = 0.

f) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0.

g) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp thành bởi các trục tọa độ.

h) Tiếp tuyến đi qua điểm A(2;1).

Bài tập 2: Cho hàm số (C)y\,\, = \,{x^3} - 3{x^2}. Viết phương trình tiếp tuyến với (C):

a) Tại điểm có hoành độ x_0=0.

b) Tại điểm có tung độ y_0=0.

c) Tại giao điểm của (C) với trục hoành.

d) Tại giao điểm của (C) với trục tung.

e) Tại điểm I(1, -2).

f) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -3.

g) Song song với đường thẳng 9x - y + 5 = 0.

h) Vuông góc với đường thẳng x - 3y = 0.

l) Đi qua điểm A(0;0).

m) Chứng minh rằng  các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I.

Bài tập 3: Cho hàm số y = f(x) = \frac{{3x + 1}}{{1 - x}}  (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C):

a) Tại điểm có hoành độ x_0=2.

b) Tại điểm có tung độ y_0=2.

c) Tại giao điểm của (C) với trục hoành.

d) Tại giao điểm của (C) với trục tung.

e) Tại điểm A(2; -7).

f) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = \,\frac{1}{2}.

g) Song song với đường thẳng d: y = \frac{1}{2}x + 100.

h) Vuông góc với đường thẳng \Delta: 2x + 2y - 5 = 0.

Bài tập 4: Cho hàm số y = f(x) = \frac{{2 - x + {x^2}}}{{x - 1}} (C).

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1.

Bài tập 5: Cho hàm số (C): y\,\, = \,\,\,\sqrt {1 - x - {x^2}} . Tìm phương trình tiếp tuyến với  (C):

a) Tại điểm có hoành độ x_0 =\frac{1}{2}

b) Song song với đường thẳng d: x + 2y  = 0.

Vấn đề 3: Các bài toán khác

Dạng 1: Giải phương trình:

Phương pháp:

  • Công thức tính đạo hàm.
  • Giải phương trình đại số, phương trình lượng giác.

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Giải phương trình f'(x) = 0 với:

a) f(x) = 3\cos x - 4\sin x + 5x

b)f(x) = \cos x + \sqrt 3 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2x - 1

c) f(x) = {\sin ^2}x + 2\cos x

d) f(x) = \sin x - \frac{{\cos 4x}}{4} - \frac{{\cos 6x}}{6}

e) f(x) = 1 - \sin (\pi  + x) + 2\cos \frac{{3\pi  + x}}{2}

f) f(x) = \sin 3x - \sqrt 3 \cos 3x + 3(\cos x - \sqrt 3 \sin x)

Bài tập 2: Giải phương trình f'(x) = g(x) với:
a) \left\{ \begin{array}{l} f(x) = {\sin ^4}3x\,\,\\ g(x) = \sin 6x \end{array} \right.

b) \left\{ \begin{array}{l} f(x) = {\sin ^3}2x\,\,\\ g(x) = 4\cos 2x - 5\sin 4x \end{array} \right.

c) \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 2{x^2}{\cos ^2}\frac{x}{2}\\ g(x) = x - {x^2}\sin x \end{array} \right.

d) \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 4x{\cos ^2}\frac{x}{2}\\ g(x) = 8\cos \frac{x}{2} - 3 - 2x\sin x \end{array} \right.

Dạng 2: Giải bất phương trinh:

Phương pháp:

  •  Công thức tính đạo hàm.
  • Giải bất phương trình đại số.

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Giải bất phương trình f'(x) > g'(x) với:

a)  f(x) = {x^3} + x - \sqrt 2 ,\,\,g(x) = 3{x^2} + x + \sqrt 2

b) f(x) = 2{x^3} - {x^2} + \sqrt 3 ,\,\,g(x) = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - \sqrt 3

c) f(x) = \frac{2}{x},\,\,g(x) = x - {x^3}

Dạng 3: Bài toán chứa tham số:

Phương pháp:

– Công thức tính đạo hàm.

– Giải bất phương trình đại số.

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Xác định m để bất phương trình luôn có nghiệm với mọi x \in \mathbb{R}:

a)  f'(x) > 0\,\,\text{vơí}\,\,f(x) = \frac{{m{x^3}}}{3} - 3{x^2} + mx - 5

b) f'(x) < 0\,\,\text{với}\,\,f(x) = \frac{{m{x^3}}}{3} - \frac{{m{x^2}}}{2} + (m + 1)x - 15