Dù chỉ mới làm quen với đạo hàm vào cuối học kỳ II lớp 11, nhưng bạn sẽ nhanh chóng nhận ra rằng bảng công thức đạo hàm là một trong những công cụ quan trọng nhất. Những công thức này không chỉ xuất hiện thường xuyên trong chương trình lớp 12 mà còn là “chìa khóa vàng” để chinh phục chương khảo sát hàm số – một nội dung trọng tâm trong kỳ thi đại học. Hơn thế nữa, đạo hàm còn có ứng dụng thực tế thú vị trong nhiều lĩnh vực của đời sống, khiến nó trở thành hành trang không thể thiếu trên con đường học tập của bạn!
Đạo hàm là gì?
Theo định nghĩa về đạo hàm tại một điểm thì
- Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b):$
$f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}=
\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ $(\Delta x = x – x_0, \Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)$ - Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại $x_0 $thì nó liên tục tại điểm đó.
Các công thức đạo hàm cơ bản
Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
Định lý 1: Hàm số \(y = {x^n}(n \in \mathbb{N},n > 1\)) có đạo hàm với mọi \(x \in\mathbb{R}\) và: \({\left( {{x^n}} \right)’} = n{x^{n – 1}}.\)
Nhận xét:
- (c)’=0 (với c là hằng số).
- (x)’=1.
Định lý 2: Hàm số \(y= \sqrt x\) có đạo hàm với mọi x dương và: \(\left( {\sqrt x } \right)’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)
Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Định lý 3: Giả sử \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:
- \({\left( {u + v} \right)’} = {u’} + {v’}\)
- \({\left( {u – v} \right)’} = {u’} – {v’}\)
- \({\left( {u.v} \right)’} = {u’}.v + u.{v’}\)
- \(\left ( \frac{u}{v} \right )’=\frac{u’v-uv’}{v^2},(v(x) \ne 0)\)
Mở rộng: \(({u_1} + {u_2} + … + {u_n})’ = {u_1}’ + {u_2}’ + … + {u_n}’.\)
Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: \((ku)’=ku’.\)
Hệ quả 2: \({\left( {\frac{1}{v}} \right)’} = – \frac{{ – v’}}{{{v^2}}}\) , \((v(x)\ne 0)\)
\((u.v.{\rm{w}})’ = u’.v.{\rm{w}} + u.v’.{\rm{w}} + u.v.{\rm{w}}’\)
Đạo hàm với hàm hợp
Định lý: Cho hàm số \(y=f(u)\) với u=u(x) thì ta có: \(y’_u=y’_u.u’_x.\)
Hệ quả:
- \(({u^n}) = n.{u^{n – 1}}.u’,n \in \mathbb{N}^*.\)
- \(\left( {\sqrt u } \right)’ = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}.\)
Bảng công thức đạo hàm
Đạo hàm cấp 2
Định nghĩa đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai
Hàm số y=f(x) có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\)
Khi đó y’=f'(x) xác định một hàm sô trên (a;b).
Nếu hàm số y’=f'(x) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x) tại x.
Kí hiệu: y” hoặc \(f”(x).\)
Công thức đạo hàm cấp cao (n)
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp \(n-1,\) kí hiệu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)(n \in \mathbb{N}, n\geq 4)\) và nếu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm câp n của \(y=f(x),\) kí hiệu \(y^{(n)}\) hoặc \(f^{(n)}(x).\)
\({f^{(n)}}(x) = {\rm{[}}{f^{(n – 1)}}(x){\rm{]}}’\)
Ý nghĩa
a)Ý nghĩa hình học:
- $f'(x_0)$ là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại $M\left( {{x_0};f({x_0})} \right)$.
- Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x$) tại $M\left( {{x_0};f({x_0})} \right)$ là: $y – y_0 = f'(x_0).(x – x_0)$
b)Ý nghĩa vật lí:
- Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s = s(t)$ tại thời điểm $t_0$ là $v(t_0) = s'(t_0)$.
- Cường độ tức thời của điện lượng $Q = Q(t)$ tại thời điểm $t_0$ là $I(t_0) = Q'(t_0)$.
Công thức đạo hàm lượng giác
Đạo hàm của hàm số y=sinx
Hàm số \(y=sin x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\sin x} \right)’ = \cos x.\)
Nếu y=sin u và u=u(x) thì \((sin u)’=u’. \cos u.\)
Đạo hàm của hàm số y=cosx
Hàm số \(y=\cos x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cos x} \right)’ =-\sin x.\)
Nếu y=cos u và u=u(x) thì \((cos u)’=-u’. \sin u.\)
Đạo hàm của hàm số y=tanx
Hàm số y=tan x có đạo hàm tại mọi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\tan x} \right)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\)
Nếu y=tan u và u=u(x) thì \(\left( {\tan u} \right)’ = \frac{{u’}}{{{{\cos }^2}u}}.\)
Đạo hàm của hàm số y=cotx
Hàm số \(y=\cot x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cot x} \right)’ = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\)
Nếu \(y=\cot u\) và u=u(x) thì \(\left( {\cot x} \right)’ = – \frac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}}\).
Bài viết trên đã giới thiệu với em những điểm cơ bản về bảng đạo hàm. Khi đã hiểu, em hoàn toàn có thể xem phân dạng đạo hàm. Hy vọng sẽ giúp ích được cho em.
Phân dạng bài tập
Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Phương pháp: Nếu tính đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ bằng định nghĩa ta thực hiện các bước:
- Bước 1: Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0$. Tính $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)$.
- Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.
- Bước 3: Kết luận.
Ví dụ 1: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của các hàm số sau: $y\, = \,\,f(x)\,\, = \,\,2{x^2} – x$ tại ${x_0} = 1$.
Giải
– Giả sử $\Delta{x}$ là số gia của đối số tại $x_0 = 1$.
Khi đó:
$\Delta y{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} f(\Delta x + 1){\mkern 1mu} {\kern 1pt} – f(1){\mkern 1mu} {\kern 1pt} $
$ = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 2{(\Delta x + 1)^2} – \Delta x – 1 – 1$
$ = 2\Delta {x^2} + 3\Delta x$
– Tính
$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\Delta {x^2} + 3\Delta x}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2\Delta x + 3} \right) = 3 \end{array}$
– Vậy: $f'(1) = 3$
Ví dụ 2: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số sau: $f(x)\,\, = \,\,{x^2} – 3x$
Giải:
– Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại x.
Khi đó:
$\begin{array}{l} \Delta y{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} f(\Delta x + x){\mkern 1mu} {\kern 1pt} – f(x){\mkern 1mu} {\kern 1pt} \\ = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {(\Delta x + x)^2} – 3\Delta x – 3x – {x^2} + 3x\\ = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2x\Delta x\\ = \Delta x(\Delta x + 2x) \end{array}$
– Tính:
$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta x(\Delta x + 2x)}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2x} \right) = 2x \end{array}$
– Vậy: $f'(x) = 2x$
Dạng 2: Tính đạo hàm bằng phép toán:
Ví dụ 1:
$\begin{array}{l} y{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 2{x^4} – \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} – 5\\ \Rightarrow y’ = 8{x^3} – {x^2} + 4x \end{array}$
Ví dụ 2:
$\begin{array}{l} y{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{{2x + 1}}{{1 – 3x}}\\ \Rightarrow y’ = \frac{{{{(2x + 1)}^,}(1 – 3x) – (2x + 1){{(1 – 3x)}^,}}}{{{{(1 – 3x)}^2}}}\\ = \frac{{2(1 – 3x) + 3(2x + 1)}}{{{{(1 – 3x)}^2}}} = \frac{5}{{{{(1 – 3x)}^2}}} \end{array}$
Dạng 3: Tính đạo hàm hàm hợp
Chú ý: Sau các hàm không phải $x$ thì ta sử dụng hàm hợp $u$. Để khỏi quên thì các em có thể sử dụng tất cả các bài toán đều cho hàm hợp $u$ vẫn được.
Ví dụ:
$\begin{array}{l} y{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {({x^2} + x)^4}\\ \Rightarrow y’ = 4{({x^2} + x)^3}.{({x^2} + x)^,}\\ = 4(2x + 1){({x^2} + x)^3} \end{array}$
Dạng 4: Tính đạo hàm cấp cao:
Phương pháp:
1.Để tính đạo hàm cấp $2,\, 3,\, 4,\, … $ta dung công thức: ${y^{(n)}}\,\, = \,\,{({y^{n – 1}})^/}.$
2.Để tính đạo hàm cấp $n$:
- Tính đạo hàm cấp $1,\, 2,\, 3, …$ từ đó suy ra công thức đạo hàm cấp $n$.
- Dùng phương pháp quy nạp toán học nêu chứng minh công thức đúng.
Đề hiểu rõ hơn về công thức đạo hàm cấp cao bạn có thể xem ví dụ sau
Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x) = 3(x + 1)\sin x$. Tính $f”(\pi )$.
Giải
$\begin{array}{l} f'(x) = 3(x + 1)’\sin x + 3(x + 1)\left( {\sin x} \right)’\\ = 3\sin x + 3(x + 1)c{\rm{osx}} \end{array}$
$\begin{array}{l} f”(x) = 3c{\rm{os}}x + 3(x + 1)’c{\rm{osx + }}3(x + 1)\left( {c{\rm{osx}}} \right)’\\ = 3\cos x + 3\cos x – 3(x + 1){\rm{sinx}} \end{array}$
$f”(\pi ) = 3\cos \pi + 3\cos \pi – 3(\pi + 1){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\pi = – 6$
Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số: $y = \frac{1}{x}$.
Giải
Ta có:$f'(x) = – \frac{1}{{{x^2}}}$
$f”(x) = \frac{{1.2}}{{{x^3}}}$
$f”'(x) = \frac{{1.2.3}}{{{x^4}}}$
$….$
${f^{(n)}}(x) = \frac{{{{( – 1)}^n}n!}}{{{x^{n + 1}}}}$
Suy ra: ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\left( n \right)}} = \frac{{{{( – 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}$
Thật vậy: Khi $n = 1$: Ta có: ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{‘}} = \frac{{( – 1).1!}}{{{x^2}}} = – \frac{1}{{{x^2}}}$.
Vậy: Mệnh đề đúng khi $n = 1$.
– Khi $n = k > 1$, tức là ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\left( k \right)}} = \frac{{{{( – 1)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}$.
Ta cần chứng minh: $n = k + 1$, tức là ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\left( k \right) + 1}} = \frac{{{{( – 1)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}$
$\begin{array}{l} {\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\left( {k + 1} \right)}} = {\left[ {{{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^k}} \right]^,} = {\left[ {\frac{{{{( – 1)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}} \right]^,}\\ = {( – 1)^k}.k!{\left[ {\frac{1}{{{x^{k + 1}}}}} \right]^,} = \frac{{{{( – 1)}^{k + 1}}.(k + 1)!}}{{{x^{k + 2}}}} \end{array}$
Vậy: Mệnh đề đúng khi $n =k+ 1$.
Dạng 5: Tính giới hạn của hàm số:
Phương pháp:
- Ta sử dụng công thức tính giới hạn lượng giác sau: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin u(x)}}{{u(x)}} = 1$ (với $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} u(x) = 0$).
- Ta sử dụng công thức: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P'(x)}}{{Q'(x)}}$ (lưu ý chỉ sử dụng khi giới hạn có dạng $\frac{0}{0}$)
Ví dụ 1:
Cách 1: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \,\,\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^4} – {x^3} + {x^2} – x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}} = \frac{5}{3}$
Cách 2: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \,\,\frac{{5{x^4}}}{{3{x^2}}} = \frac{5}{3}$
Ví dụ 2:
Cách 1: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x}}{{\sin 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{5\sin 5x}}{{5x}}}}{{\frac{{4\sin 4x}}{{4x}}}} = \frac{5}{4}\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5\sin 5x}}{{5x}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4\sin 4x}}{{4x}}}} = \frac{5}{4}$
Cách 2: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x}}{{\sin 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5c{\rm{os}}5x}}{{4c{\rm{os}}4x}} = \frac{{5\cos (5.0)}}{{4\cos (4.0)}} = \frac{5}{4}$
Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến:
Phương pháp:
1.Phương trình tiếp tuyến tai điểm $M(x_0; y_0) \in C$ là: $\,\,\,\,y – {y_0}\,\, = \,\,f'({x_0})(x – {x_0})\,\,\,\,\,\,$ (*)
2.Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$, biết tiếp tuyến có hệ số góc $k$:
- Bước 1: Gọi $x_0$ là hoành độ tiếp điểm. Ta có: $f\prime ({x_0}) = k$ (Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm)
- Bước 2: Giải phương trình tìm $x_0$, rồi tìm${y_0}\,\, = \,\,f({x_0}).$
- Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm theo công thức (*).
- Bước 4: Kết luận
3.Viết phương trình tiếp tuyến $(d)$ với $(C)$, biết $(d)$ đi qua một điểm $A(x_1; y_1)$ cho trước:
- Bước 1: Gọi $(x_0; y_0)$ là tiếp điểm (với $y_0 = f(x_0)$).
- Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d):
$(d)$ qua $A({x_1},\,\,{y_1})\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{y_1} – {y_0}\,\, = \,\,f'({x_0})\,\,({x_1} – {x_0})\,\,\,\,(1)$ - Bước 3: Giải phương trình $(1)$ với ẩn là $x_0$, rồi tìm ${y_0} = f({x_0})$ và $f'({x_0}).$
- Bước 4: Từ đó viết phương trình tiếp tuyến tại điểm theo công thức (*).
Chú ý: Cho $(\Delta): y = ax + b$. Khi đó:
- $(d)\, / / \,(\Delta )\,\,\, \Rightarrow \,\,{k_d} = a$
- $(d)\,\, \bot \,\,(\Delta )\,\,\, \Rightarrow \,\,{k_d} = – \frac{1}{a}$
Ví dụ : Cho hàm số $(C)$: $y\,\, = \,\,f(x)\,\, = \,{x^2} – 2x$ Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$:
a) Tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.
b) Tại điểm có tung độ $y_0=0$
c) Tại điểm $M(0;0)$.
d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = 2$.
Giải:
a) Tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.
– ${x_0}\,\, = \,1 \Rightarrow {y_0} = – 1$
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {1; – 1} \right)$: $y + 1 = y'(1)(x – 1) \Leftrightarrow y = – 1$
b) Tại điểm có tung độ ${y_0}\,\, = \,0$
${x^2} – 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.$
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {0;0} \right)$: $y – 0 = y'(0)(x – 0) \Leftrightarrow y = 2x$
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {2;0} \right)$: $y – 0 = y'(2)(x – 2) \Leftrightarrow y = 2x – 4$
c) Tại điểm $M(0;0)$.
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {0;0} \right)$: $y – 0 = y'(0)(x – 0) \Leftrightarrow y = 2x$
d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = 2$.
– Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Ta có: $f\prime ({x_0}) = 2 \Leftrightarrow 2{x_0} – 2 = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \Rightarrow A(2;0)$
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {2;0} \right)$: $y – 0 = y'(2)(x – 2) \Leftrightarrow y = 2x – 4$
– Vậy: Pttt: $y = 2x – 4$
Bài tập vận dụng
Bài tập có lời giải
Bài tập 1: Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \frac{2}{{x + 1}}\) tại điểm \({x_0} = 1\)
Lời giải
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{2}{{x + 1}} – 1}}{{x – 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 – x}}{{(x + 1).(x – 1)}}$ $\mathop { = \lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ – 1}}{{x + 1}}$ $ = \frac{{ – 1}}{2}$
Bài tập 2: Xét tình huống vận động viên nhảy dù trong bài toán khởi động:
a, Tìm vận tốc của vận động viên nhảy dù sau 2 giây kể từ khi bắt đầu rơi tự do
b, Sau khi rơi tự do được 490 m, vận động viên đó bung dù để chuẩn bị đáp xuống mặt đất. Tìm vận tốc của vận động viên tại thời điểm bung dù.
Lời giải
a, Vận tốc của vận động viên sau 2 giây kể từ khi rơi tự do là:
$\mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{f(t) – f(2)}}{{t – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{4,9{t^2} – 19,6}}{{t – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{4,9.({t^2} – 4)}}{{t – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{4,9.(t – 2).(t + 2)}}{{t – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} 4,9.(t + 2) = 19,6$
Vậy vận tốc của vận động viên sau 2 giây kể từ khi rơi tự do là 19,6 m / s
b, Ta có: $s({t_1}) = 4,9{t_1}^2$ $ \Leftrightarrow 490 = 4,9.{t_1}^2$ $ \Leftrightarrow {t_1}^2 = 100$ $ \Rightarrow {t_1} = 10$
Vận tốc của vận động viên tại thời điểm bung dù là:
$\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{f(t) – f(10)}}{{t – 10}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{4,9{t^2} – 490}}{{t – 10}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{4,9.({t^2} – 100)}}{{t – 10}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{4,9.(t – 10).(t + 10)}}{{t – 10}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} 4,9.(t + 10) = 98$
Vậy vận tốc của vận động viên tại thời điểm bung dù là 98 m/s
Bài tập 3: Cho hàm số \(f(x) = {x^2} + 1\)có đồ thị parabol (P) và điểm M(1,2) thuộc (P). Gọi \(\Delta \)là tiếp tuyến của (P) tại M. Hãy viết phương trình \(\Delta \).
Lời giải
Áp dụng cách viết phương trình tiếp tuyến, ta có:
$\begin{array}{l}
y'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 1 – 2}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2
\end{array}$
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1,2) có hệ số góc k=2 là:
y = 2.( x -1)+2=2x
Bài tập 4: Cho parabol (P) \(y = {x^2} + 2x – 3\) và điểm M thuộc (P) có hoành độ \({x_0} = – 2\)
a, Tính \({y’}( – 2)\)
b, Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M.
Lời giải
a, Ta có: $y'( – 2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{f(x) – f( – 2)}}{{x + 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{{x^2} + 2x – 3 – ( – 3)}}{{x + 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{x.(x + 2)}}{{x + 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} x = – 2$
b, Ta có: \({x_0} = – 2 \Rightarrow f({x_0}) = {( – 2)^2} + 2.( – 2) – 3 = – 3\)
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M (-2, -3) là: y = -2. (x + 2) -3= -2x -7.
Bài tập 5: Chứng minh đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) trên khoảng \((0; + \infty )\) là \(y’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
Lời giải
Với mọi \({x_0} \in (0; + \infty )\) ta có :
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x – \sqrt {{x_0}} }}{{x – {x_0}}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x – \sqrt {{x_0}} }}{{(\sqrt x – \sqrt {{x_0}} ).(\sqrt x + \sqrt {{x_0}} )}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\sqrt x + \sqrt {{x_0}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}$
Suy ra \(y'({x_0}) = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\)
Vậy đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) trên khoảng \((0; + \infty )\) là \({y’} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
Bài tập 6: Cho hàm số \(f(x) = {(x – 1)^3}\) có đồ thị ( C ). Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại giao điểm của ( C ) với trục tung.
Lời giải
Giao điểm của ( C ) với Oy là điểm M (0; -1)
Ta có: $f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(x – 1)}^3} – ( – 1)}}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^3} – 3{x^2} + 3x}}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ({x^2} – 3x + 3) = 3$
Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) có hệ số góc \({f’}(0) = 3\) tại điểm M (0,-1) là:
y = 3.( x- 0 ) -1= 3x – 1
Bài tập 7: Tính đạo hàm của hàm số \(y = 3{x^2}\) trên R.
Lời giải
Với mọi \({x_0} \in R\) ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{3{x^2} – 3x_0^2}}{{x – {x_0}}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{3.(x + {x_0}).(x – {x_0})}}{{x – {x_0}}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 3.(x + {x_0}) = 6{x_0}$
Suy ra \(y'({x_0}) = 6{x_0}\)
Vậy đạo hàm của hàm số \(y = 3{x^2}\) trên R là 6x.
Bài tập 8: Một bình nuôi cấy vi sinh vật được truyền nhiệt đến một nhiệt độ thích hợp. Biết rằng nhiệt độ của bình tại thời điểm t phút được tính bằng hàm số \(f(t) = {t^3}\).
a, Tìm tốc độ thay đổi nhiệt độ của bình tại thời điểm t= 2 phút
b, Sau bao lâu thì nhiệt độ của bình đạt \({27^0}C\)? Tìm tốc độ thay đổi nhiệt độ của bình tại thời điểm đó.
Lời giải
a, Ta có: $f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{f(t) – f(2)}}{{t – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{{t^3} – 8}}{{t – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{(t – 2).({t^2} + 2t + 4)}}{{t – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} ({t^2} + 2t + 4) = 12$
b, Để nhiệt độ của bình đạt \({27^0}C\) thì: \({t^3} = 27 = {3^3} \Rightarrow t = 3\)
Sau 3 phút thì nhiệt độ bình là \({27^0}C\)
Ta có: $f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{f(t) – f(3)}}{{t – 3}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{{t^3} – 27}}{{t – 3}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{(t – 3).({t^2} + 2t + 4)}}{{t – 3}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 3} ({t^2} + 3t + 9) = 27$
Bài tập 9: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a, \(y = {e^{\tan x}}\)
b, \(y = {\ln ^2}(2x + 1)\)
Lời giải
Áp dụng bảng công thức đạo hàm, ta có:
a, Ta có: $y’ = {({e^{\tan x}})^\prime } = {(\tan x)^\prime }.{e^{\tan x}}$ $ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.{e^{\tan x}}$
b, Ta có: $y’ = [{\ln ^2}(2x + 1)]’$ $ = 2\ln (2x + 1).[\ln (2x + 1)]’$ $ = 2.\ln (2x + 1).\frac{2}{{2x + 1}}$ $ = \frac{{4.\ln (2x + 1)}}{{2x + 1}}$
Bài tập 10: Cho parabol (P) . Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5.
Lời giải
Ta có: \({y’} = {(2{x^2} – 3x + 1)’} = 4x – 3\)
Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5 ta có: $y’ = f'({x_0}) = 5$ $ \Rightarrow 4{x_0} – 3 = 5$ $ \Rightarrow {x_0} = 2$ $ \Rightarrow f({x_0}) = {2.2^2} – 3.2 + 1 = 3$
Vậy phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 5 tại điểm (2,3) là:
y = 5. (x – 2)+3= 5x – 7
Bài tập 11: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) với
a) \(f\left( x \right) = {\left( {x – 2} \right)^7}\) và \({x_0} = 4\)
b) \(f\left( x \right) = \sin 2x\) tại \({x_0} = \frac{\pi }{3}\)
Lời giải
a) $f’\left( x \right) = 7.{\left( {x – 2} \right)^6}.\left( {x – 2} \right)’$ $ = 7.{\left( {x – 2} \right)^6}$
$f”\left( x \right) = 7.6.{\left( {x – 2} \right)^5}.\left( {x – 2} \right)’$ $ = 42.{\left( {x – 2} \right)^5}$
Thay \({x_0} = 4\) vào \(f”\left( x \right)\) ta được
b) \(f’\left( x \right) = \cos 2x.\left( {2x} \right)’ = 2\cos 2x\)
\(f”\left( x \right) = – 2\sin 2x.\left( {2x} \right)’ = – 4\sin 2x\)
Thay \({x_0} = \frac{\pi }{3}\) vào \(f”\left( x \right)\) ta được \(f”\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = – 4\sin \frac{{2\pi }}{3} = – 2\sqrt 3 \)
Bài tập 12: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau
a) \(y = {2^x} – {5^x}\)
b) \(y = \sqrt {x + 3} \)
c) \(y = x\ln x\)
Lời giải
a) \(y’ = \left( {{2^x} – {5^x}} \right)’ = {2^x}\ln 2 – {5^x}\ln 5\)
$y” = \left( {{2^x}\ln 2 – {5^x}\ln 5} \right)’$ $ = {2^x}\ln 2.\ln 2 – {5^x}\ln 5.\ln 5$ $ = {2^x}{\ln ^2}2 – {5^x}{\ln ^2}5$
b) $y’ = \left( {\sqrt {x + 3} } \right)’$ $ = \frac{{\left( {x + 3} \right)’}}{{2\sqrt {x + 3} }}$ $ = \frac{1}{{2\sqrt {x + 3} }}$
$y” = \frac{{1′.2\sqrt {x + 3} – \left( {2\sqrt {x + 3} } \right)’.1}}{{{{\left( {2\sqrt {x + 3} } \right)}^2}}}$ $ = \frac{{ – 2.\left( {x + 3} \right)’}}{{2\sqrt {x + 3} }}.\frac{1}{{4\left( {x + 3} \right)}}$ $ = \frac{{ – 1}}{{4\left( {x + 3} \right)\sqrt {x + 3} }}$
c) $y’ = {\left( {x\ln x} \right)^\prime }$ $ = x’.\ln x + {\left( {\ln x} \right)^\prime }.x$ $ = \ln x + \frac{1}{x}.x = \ln x + 1$
\(y” = \left( {\ln x + 1} \right)’ = \left( {\ln x} \right)’ + 1′ = \frac{1}{x}\)
Bài tập 13: Nếu một phi hành gia đứng trên Mặt Trắng và ném một viên đá từ độ cao 1 mét với vận tốc đầu 7,9 \(m/s\) thì chiếu cao của viên đá sau \(t\) giây được tính bởi công thức \(h\left( t \right) = 1 + 7,9t – 0,8{t^2}\) \(\left( m \right)\). Tính vận tốc của viên đá khi chạm bề mặt Mặt Trăng.
Lời giải
Ta có \(v\left( t \right) = h’\left( t \right) = 7,9 – 1,6t\)
Viên đá khi chạm đất thì \(h\left( t \right) = 0\) $ \Leftrightarrow 1 + 7,9t – 0,8{t^2} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 10{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( {TM} \right)}\\ {t = – \frac{1}{8}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( {KTM} \right)} \end{array}} \right.$
Vậy vận tốc của viên đá khi chạm bề mặt Mặt Trăng là
\(v\left( {10} \right) = 7,9 – 1,6.10 = – 8,1\,\,m/s\)
Bài tập 14: Cho đường cong ( C ) : \(y = \frac{{x – 3}}{{x + 1}}\)
a, Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M( 1, -1)
b, Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) tại giao điểm ( C ) với trục hoành
Lời giải
Ta có $y’ = \left( {\frac{{x – 3}}{{x + 1}}} \right)’$ $ = \frac{{(x – 3)’.(x + 1) – (x – 3).(x + 1)’}}{{{{(x + 1)}^2}}}$ $ = \frac{{x + 1 – (x – 3)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{4}{{{{(x + 1)}^2}}}$
a, \(y'(1) = \frac{4}{{{{(1 + 1)}^2}}} = 1\)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M( 1, -1) là:
y= 1.(x – 1) -1 = x – 2
b, Giao điểm của ( C ) với Ox là: \(\frac{{x – 3}}{{x + 1}} = 0 \Rightarrow x = 3\)
\(y'(3) = \frac{4}{{{{(3 + 1)}^2}}} = \frac{1}{4}\)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( 3,0 ) là : \(y = \frac{1}{4}(x – 3)\)
Bài tập 15: Dân số của thành phố A tăng theo từng năm kể từ năm 2000 đến nay. Giả sử số dân của thành phố trên được ước tính bởi công thức \(f\left( t \right) = \frac{{30t + 18}}{{t + 6}}\) (nghìn người), trong đó \(t\) là số năm kể từ năm \(2000\). Chẳng hạn, ở thời điểm năm 2020 thì \(t = 2020 – 2000 = 20\).
a) Nếu xem \(y = f\left( t \right)\) là hàm số xác định trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\) thì đạo hàm của nó biểu thị cho đại lượng nào?
b) Tính tốc độ tăng dân số của thành phố A vào năm 2005 và 2010 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Vào năm nào trong hai năm nêu trên, dân số của thành phố A tăng nhanh hơn?
c) Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số đạt mức 0,5 nghìn người/năm?
Lời giải
a) \(f’\left( t \right)\) biểu thị cho tốc độ tăng dân số của thành phố A
b) Ta có $f’\left( t \right) = \frac{{\left( {30t + 18} \right)’.\left( {t + 6} \right) – \left( {t + 6} \right)’.\left( {30t + 18} \right)}}{{{{\left( {t + 6} \right)}^2}}}$ $ = \frac{{30\left( {t + 6} \right) – \left( {30t + 18} \right)}}{{{{\left( {t + 6} \right)}^2}}} = \frac{{162}}{{{{\left( {t + 6} \right)}^2}}}$
+) Với năm \(2005\) thì \(t = 2005 – 2000 = 5\).
Suy ra tốc độ tăng dân số là \(f’\left( 5 \right) = \frac{{162}}{{{{\left( {5 + 6} \right)}^2}}} = \frac{{162}}{{121}} \approx 1,34\)nghìn người/năm
+) Với năm 2010 thì \(t = 2010 – 2000 = 10\)
Suy ra tốc độ tăng dân số là \(f’\left( {10} \right) = \frac{{162}}{{{{\left( {10 + 6} \right)}^2}}} \approx 0,63\)nghìn người/năm
c) Để tốc độ tăng dân số đạt mức \(0,5\) nghìn người/năm là
$f’\left( t \right) = 0,5 \Leftrightarrow \frac{{162}}{{{{\left( {t + 6} \right)}^2}}} = 0,5$ $ \Leftrightarrow {\left( {t + 6} \right)^2} = 324$ $ \Leftrightarrow t + 6 = 18 \Leftrightarrow t = 12$
Vậy năm \(2012\) thì tốc độ tăng dân số đạt mức \(0,5\) nghìn người/năm
Bài tập 16: Để đo lường khả năng nắm vững kiến thức của sinh viên sau khi kết thức khóa học, một nhà nghiên cứu tiến hành cho sinh viên làm bài kiểm tra mỗi tháng trong vòng 12 tháng kể từ ngày kết thức khóa học. Giả sử điểm số trung bình \(s\left( t \right)\) của các sinh viên đạt được trong bài kiểm tra ở tháng thứ \(t\) được tính bởi \(s\left( t \right) = 7.{e^{ – 0,2t}} + 1\) với \(s\left( t \right)\) tính bằng điểm, \(0 \le t \le 12\). Nếu xem \(y = s\left( t \right)\) là hàm số xác định trên \(\left[ {0;12} \right]\) thì \(\left| {s’\left( t \right)} \right|\) biểu thị tốc độ giẩm điểm số tại tháng thứ \(t\) trong đợt khảo sát.
Tính tốc độ giảm điểm số tại \(t = 2\) và \(t = 6\). Tại thời điểm nào trong hai thời điểm trên, điểm số của các sinh viên được khảo sát giảm nhanh hơn?
Lời giải
Ta có $s’\left( t \right) = \left( {7{e^{ – 0,2t}} + 1} \right)’$ $ = 7.{e^{ – 0,2t}}.\left( { – 0,2t} \right)’$ $ = – 1,4.{e^{ – 0,2t}}$
\( \Rightarrow \left| {s’\left( t \right)} \right| = 1,4.{e^{ – 0,2t}}\) là tốc độ giảm điểm số tại tháng thứ \(t\)
+) Với \(t = 2\) thì tốc độ giảm điểm số là \(1,4.{e^{ – 0,2.2}} \approx 0,9384\)
+) Với \(t = 6\) thì tốc độ giảm điểm số là \(1,4.{e^{ – 0,2.6}} \approx 0,4217\)
Vậy tại thời điểm \(t = 2\) thì điểm số của sinh viên được khảo sát giảm nhanh hơn
Bài tập trắc nghiệm
BT 1: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra:
a) $y\, = \,\,f(x)\,\, = \,\,2{x^2} – x + 2$ tại ${x_0} = 1$
b) $y\, = \,\,f(x)\,\, = \,\,\sqrt {3 – 2x} $ tại ${x_0} = -3$
c) $y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\frac{{2x + 1}}{{x – 1}}$ tại ${x_0} = 2$
d) $y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\sin x$ tại $x_0 =\frac{\pi}{6}$
e) $y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\sqrt[3]{x}$ tại $x_0 = 1$
f) $y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x – 1}}$ tại $x_0 = 0$
BT 2: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số sau:
a) $f(x)\,\, = \,\,{x^2} – 3x + 1$
b) $f(x)\,\, = \,\,\sqrt {x + 1} ,\,\,(x\,\, > \,\, – 1)$
c) $f(x)\,\, = \,\,\frac{1}{{2x – 3}}$
d) $f(x)\,\, = \,\,\sin x$
BT 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y\,\, = \,2{x^4} – \frac{1}{3}{x^3} + 2\sqrt x – 5$
b) $y\,\, = \,\,\frac{3}{{{x^2}}} – \sqrt x + \frac{2}{3}x\sqrt x $
c) $y\,\, = \,\,({x^3} – 2)(1 – {x^2})$
d) $y\,\, = \,\,({x^2} – 1)({x^2} – 4)({x^2} – 9)$
e) $y = ({x^2} + 3x)(2 – x)$
f) $y\,\, = \,\,\left( {\sqrt x + 1} \right)\,\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} – 1} \right)$
g) $y\,\, = \,\,\frac{3}{{2x + 1}}$
h) $y\,\, = \,\,\frac{{2x + 1}}{{1 – 3x}}$
i) $y = \frac{{1 + x – {x^2}}}{{1 – x + {x^2}}}$
k) $y\,\, = \,\,\frac{{{x^2} – 3x + 3}}{{x – 1}}$
BT 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y\,\, = \,x.c{\rm{osx}}$
b) $y\,\, = \,\,{x^2}.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$
c) $y\,\, = \,\,x.\sqrt x $
d) $y = \frac{{1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{1 – {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}$
Trên là hệ thống bảng công thức đạo hàm đầy đủ nhất, hy vọng nó sẽ hữu ích với bạn. Bài sau sẽ hướng dẫn bạn rèn luyện kĩ năng giải bài tập đạo hàm.