Tính đạo hàm lượng giác

Trong bài viết bảng đạo hàm cơ bản ta đã tìm biết những công thức về đạo hàm lượng giác tuy nhiên không đi sâu vào. Bài viết này không chỉ giới thiệu các công thức liên quan mà còn đưa ra những ví dụ liên quan để minh họa lý thuyết.

I. Cơ sở lý thuyết

1. Đạo hàm của hàm số y = sinx:

•  y’ = (sinx)’ = cos(x), với ∀x ∈ R
• Lưu ý: Nếu y = sin(u) thì y’ = u’.cos(u)

2. Đạo hàm của hàm số y = cosx:

• y’ = (cosx)’ = – sin(x), với ∀x ∈ R
• Lưu ý: Nếu y = cos(u) thì y’ = – u’.sin(u)

3. Đạo hàm của hàm số y=tanx:

• y = $(\tan x)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$, với ∀x ≠ π/2 + kπ trong đó k ∈ R
• Lưu ý: Nếu $\left( {\tan u} \right)’ = \frac{{u’}}{{{{\cos }^2}u}}$, với ∀x ≠ π/2 + kπ trong đó k ∈ R

4. Đạo hàm của hàm số y= cotx:

• y = $(\cot x)’ = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ với ∀x ≠  kπ trong đó k ∈ R
• Lưu ý: Nếu $\left( {\cot u} \right)’ = – \frac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}}$, với ∀x ≠  kπ trong đó k ∈ R

II. Bài tập đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài tập 1.    Cho hàm số lượng giác cơ bản sau y = 5sinx – 3cosx. Hãy tính đạo hàm của hàm số đó.

Hướng dẫn

Theo bài, đề cho hàm số y = 5sinx – 3cosx.

Áp dụng công thức đạo hàm lượng giác:

• (sinx)’ = cosx
• (cosx) = – sinx

Ta có ngay: y’ = 5cosx + 3sinx.

Bài tập 2: Hãy tính đạo hàm sinx của hàm số có dạng y = sin(x² – 3x + 2).

Giải

Theo đề: hàm số có dạng y = sin(x² – 3x + 2).

Từ bảng đạo hàm lượng giác ta có ngay: y’= (x² – 3x + 2)’.cos(x$^2$ – 3x + 2) = (2x – 3).cos(x$^2$ – 3x + 2).

Bài tập 3: Tìm đạo hàm cos của các hàm số sau y = cos$\sqrt {2x + 1} $.

Giải

Theo đề bài, ta có hàm y = cos$\sqrt {2x + 1} $.

Vận dụng công thức đạo hàm của hàm số lượng giác, ta có ngay:

$y’ = \left( {\sqrt {2x + 1} } \right)’.\sin \sqrt {2x + 1} $$ = \frac{2}{{2\sqrt {2x + 1} }}.\sin \sqrt {2x + 1} $$ =  – \frac{{\sin \sqrt {2x + 1} }}{{\sqrt {2x + 1} }}.$

Bài tập 4: Tìm đạo hàm của hàm tan có dạng: y = $\sqrt {1 + 2\tan x} $.

Giải

Sử dụng công thức đạo hàm của tan, ta có:

$y’ = \frac{{\left( {2\tan x} \right)’}}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}$$ = \frac{{\frac{2}{{{{\cos }^2}x}}}}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}$$ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x\sqrt {1 + 2\tan x} }}$.

Bài tập 5: Tìm đạo hàm phân số lượng giác sau \(y = \frac{{\sin x – x\cos x}}{{\cos x + x\sin x}}\)

 giải

Áp dụng công thức đạo hàm phân số và đạo hàm của hàm lượng giác sin và cos ta có:

\(y’ = \frac{{{{\left( {\sin x – x\cos x} \right)}^/}\left( {\cos x + x\sin x} \right) – {{\left( {\cos x – x\sin x} \right)}^/}\left( {\sin x – x\cos x} \right)}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}\)

Tính \({\left( {\sin x – x\cos x} \right)^/} = \cos x – {\left( {x\cos x} \right)^/} = \cos x – \left( {x’.\cos x + x.{{\left( {\cos x} \right)}^/}} \right)\)

\( = \cos x – \left( {\cos x – x\sin x} \right) = x\sin x\)

Tính\({\left( {\cos x + x\sin x} \right)^/} =  – \sin x + \left( {x’.\sin x + x.{{\left( {\sin x} \right)}^/}} \right)\)

\( =  – \sin x + \left( {\sin x + x\cos x} \right) = x\cos x\)

\( \Rightarrow y’ = \frac{{x\sin x\left( {\cos x + x\sin x} \right) – x\cos x\left( {\sin x – x\cos x} \right)}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}.\)