Đạo hàm một bên

Bài trước ta đã nêu rõ định nghĩa đạo hàm trong bài này ta sẽ đi sâu vào. Cụ thể là ta tìm hiểu đạo hàm một bên là gì? Đạo Hàm bên trái? Đạo hàm bên phải?

a. Đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm x$_0$, kí hiệu là f ‘($x_0^ – $), được định nghĩa là: f ‘($x_0^ – $) = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ – }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}$ trong đó x → $x_0^ – $ được hiểu là x → x$_0$ và nhỏ hơn x$_0$.

b. Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x$_0$, kí hiệu là f ‘($x_0^ + $), được định nghĩa là:
f ‘($x_0^ + $) = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}$

trong đó x → $x_0^ + $ được hiểu là x → x$_0$ và lớn hơn x$_0$.

Định lí: Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x$_0$ thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu f ‘($x_0^ – $) và f ‘($x_0^ + $) tồn tại và bằng nhau.
Khi đó, ta có: f ‘(x$_0$) = f ‘($x_0^ – $) = f ‘($x_0^ + $).