Đạo hàm trên một khoảng

Bài trước ta đã bàn về đạo hàm một bên, bài này ta bàn tiếp tới đạo hàm trên một khoảng. Đây là phần khá hay

Định nghĩa:

  1. Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a, b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.
  2. Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a, b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a, b) và có đạo hàm bên phải tại a, đạo hàm bên trái tại b.

Quy ước: Từ nay khi ta nói hàm số y = f(x) có đạo hàm, mà không nói rõ trên khoảng nào, thì điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đã cho.

Để minh họa chi tiết lý thuyết trên, ta cùng nhau làm một thí dụ:

Thí dụ: Cho hàm số: f(x) = $\left\{ \begin{array}{l}{x^2}\sin \frac{1}{x}\,\,\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$.
a. Tính đạo hàm của f tại mỗi x∈\(\mathbb{R}\).
b. Chứng tỏ rằng đạo hàm f’ không liên tục tại x$_0$ = 0.

Hướng dẫn giải

a. Ta xét hai trường hợp:

  •  Với x ≠ 0, ta có f ‘(x) = 2xsin$\frac{1}{x}$ – cos$\frac{1}{x}$.
  • Với x = 0, ta có: f ‘(0) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $x.sin$\frac{1}{x}$.

Ta có:

  • Với mọi x ≠ 0 thuộc lân cận của điểm 0 luôn có: |xsin$\frac{1}{x}$| ≤ |x| <=> – |x| ≤ xsin$\frac{1}{x}$ ≤ |x|.
  • Mặt khác $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $( – |x|) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $|x| = 0.

Suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.\sin \frac{1}{x}$ = 0 => f'(0) = 0.
Vậy, ta được: f ‘(x) = $\left\{ \begin{array}{l}2x\sin \frac{1}{x} – \cos \frac{1}{x}\,\,\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$.

b. Chứng tỏ rằng đạo hàm f’ không liên tục tại x$_0$ = 0.
Đặt g(x) = 2x.sin$\frac{1}{x}$ – cos$\frac{1}{x}$.
Chọn hai dãy số {x$_n$} và {y$_n$} với:

  • x$_n$ = $\frac{1}{{2n\pi }}$ => x$_n$→ 0 khi n→ ∞ và ta được: g(x$_n$) = 2x$_n$.sin$\frac{1}{{{x_n}}}$ – cos$\frac{1}{{{x_n}}}$ khi →- 1.
  • y$_n$ = $\frac{1}{{\pi + 2n\pi }}$=> y$_n$→ 0 khi n→ ∞ và ta được: f(y$_n$) = 2y$_n$.sin$\frac{1}{{{y_n}}}$ – cos$\frac{1}{{{y_n}}}$ → 1.

Tức $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $g(x) không tồn tại. Suy ra: f ‘(x) không có giới hạn khi x→0 => f ‘ không liên tục tại x$_0$ = 0.