Công thức cấp số cộng và 5 dạng bài tập thường gặp

Trong các đề thi THPT Quốc gia, chuyên đề cấp số cộng là một trong những chuyên đề không thể thiếu. Các công thức cấp số cộng cũng như tính chất của phép toán này bạn học từ học kì II lớp 11 cùng với cấp số nhân. Đây là phép toán tương đối dễ học nhưng vẫn gây khó khăn cho nhiều bạn. Bài viết này sẽ hệ thống từ căn bản tới nâng cao.

cấp số cộng

Cấp số cộng là gì?

Là dãy 1 dãy số hữu hạn (hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện hai số liền kề nhau sai khác nhau một hằng số (không đổi).

Cơ sở lý thuyết

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_n} = {u_{n – 1}} + d,\forall n \ge 2\)

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng (CSC).

Tính chất:

  • ${u_k} = \frac{{{u_{k – 1}} + {u_{k + 1}}}}{2},\forall k \ge 2$
  •  Số hạng tổng quát: \({u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d\)
  • Tổng n số hạng đầu:

$\begin{array}{l}
{S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n}\\
= \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2}\\
= \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right].n}}{2}
\end{array}$

Phân dạng bài tập cấp số cộng

Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Bước 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp nhau theo công thức: \(d = {u_n} – {u_{n – 1}},\forall n \ge 2\).

Bước 2: Kết luận:

  • Nếu d là số không đổi thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là CSC.
  • Nếu d thay đổi theo n thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) không là CSC.

Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng

Sử dụng các tính chất của CSC ở trên, sau đó biến đổi để tính công sai d

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d\)

Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên

Ta vận dụng công thức tính tổng cấp số cộng:

$\begin{array}{l} {S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n}\\ = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2}\\ = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right].n}}{2} \end{array}$

Dạng 5: Tìm cấp số cộng

  • Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu \({u_1}\), công sai d.
  • Tìm công thức cho số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d\).

Bài tập cấp số cộng

Bài 1. [Đề tham khảo lần 2 năm 2020] Cho cấp cấp số cộng (u$_n$) với u$_1$ = 3 và u$_2$ = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Hướng dẫn giải

Công sai của cấp số cộng đã cho bằng ${u_2} – {u_1} = 6$

Bài 2: [Đề thi thử toán 2020 sở GD Hà Nội] Cho một CSC có ${u_1} = – 3;\,\,{u_6} = 27$. Tìm d ?

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} {u_6} = 27\\ \Leftrightarrow {u_1} + 5d = 27\\ \Leftrightarrow – 3 + 5d = 27\\ \Leftrightarrow d = 6 \end{array}$

Bài 3: [Đề thi thử toán 2020 Chuyên PBC] Cho một CSC có ${u_1} = \frac{1}{3};\,\,{u_8} = 26$ Tìm d?

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} {u_8} = 26 \Leftrightarrow {u_1} + 7d = 26\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3} + 7d = 26\\ \Leftrightarrow d = \frac{{11}}{3} \end{array}$

Bài 4: [Đề thi thử toán 2020 chuyên Vinh ] Cho CSC $({u_n})$ thỏa: $\left\{ \begin{array}{l} {u_5} + 3{u_3} – {u_2} = – 21\\ 3{u_7} – 2{u_4} = – 34 \end{array} \right.$

1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số.

2. Tính tổng cấp số cộng của 15 số hạng đầu.

3. Tính $S = {u_4} + {u_5} + … + {u_{30}}$.

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết bài toán, ta có:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) – ({u_1} + d) = – 21\\ 3({u_1} + 6d) – 2({u_1} + 3d) = – 34 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 3d = – 7\\ {u_1} + 12d = – 34 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 2\\ d = – 3 \end{array} \right. \end{array}$

1. Số hạng thứ 100 của cấp số: ${u_{100}} = {u_1} + 99d = – 295$

2. Tổng của 15 số hạng đầu: ${S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left[ {2{u_1} + 14d} \right] = – 285$

3. Ta có:
$\begin{array}{l} S = {u_4} + {u_5} + … + {u_{30}} = \frac{{27}}{2}\left[ {2{u_4} + 26d} \right]\\ = 27\left( {{u_1} + 16d} \right) = – 1242 \end{array}$

Chú ý: Ta có thể tính $S$ theo cách sau:

$S = {S_{30}} – {S_3} = 15\left( {2{u_1} + 29d} \right) – \frac{3}{2}\left( {2{u_1} + 2d} \right) = – 1242$.

Bài 5. [Đề thi thử toán 2020 sở Quảng Bình] Cho CSC (u$_n$) thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} – {u_3} + {u_5} = 10} \\ {{u_4} + {u_6} = 26} \end{array}} \right.$

1. Xác định công sai?

2. Tính tổng $S = {u_5} + {u_7} + \ldots + {u_{2011}}$

Hướng dẫn giải

1. Ta có:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + d – ({u_1} + 2d) + {u_1} + 4d = 10\\ {u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 3d = 10\\ {u_1} + 4d = 13 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {u_1} = 1,d = 3\\ {u_5} = {u_1} + 4d = 1 + 12 = 13 \end{array}$

2. Ta có ${u_5},{u_7},…,{u_{2011}}$ lập thành CSC với công sai d = 6 và có 1003 số hạng nên $S = \frac{{1003}}{2}\left( {2{u_5} + 1002.6} \right) = 3028057$

Bài 6: [Đề thi thử toán 2020 sở Hà Nội lần 2] Xác định x để 3 số : $1 – x;{x^2};1 + x $ theo thứ tự lập thành một CSC?

Hướng dẫn giải

Ba số: $1 – x;{x^2};1 + x $ lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi ${x^2} – \left( {1 – x} \right) = 1 + x – {x^2} $

$ \Leftrightarrow 2{x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm 1 $

Hy vọng với bài viết hệ thống lại toàn bộ lý thuyết, công thức, bài tập có lời giải ở trên hữu ích cho các bạn. Mọi góp ý và thắc mắc các bạn vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để daoham.com ghi nhận và hỗ trợ.