Ý nghĩa của đạo hàm

Các bài trước ta đã phân tích sâu đạo hàm về mặt toán học. Dựa vào đó ta dễ chỉ ra đạo hàm có hai ý nghĩa hết sực quan trọng là ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lý.

1. Ý NGHĨA HÌNH HỌC

a. Tiếp tuyến của đường cong phẳng: Cho đường cong phẳng (C) và một điểm cố định M$_0$ trên (C), M là điểm di động trên (C). Khi đó M$_0$M là một cát tuyến của (C).

Định nghĩa: Nếu cát tuyến M$_0$M có vị trí giới hạn M$_0$T khi điểm M di chuyển trên (C) và dần tới điểm M$_0$ thì đường thẳng M$_0$T được gọi là tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M$_0$. Điểm M$_0$ được gọi là tiếp điểm.

Sau đây ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với Oy.

b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại x$_0$ ∈ (a, b), gọi (C) là đồ thị hàm số đó.

Định lí 1: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x$_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến M$_0$T của (C) tại điểm M$_0$(x$_0$, f(x$_0$)).

c. Phương trình của tiếp tuyến:

Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M$_0$(x$_0$, f(x$_0$)) là: y – y$_0$ = f'(x$_0$)(x – x$_0$)

 

2. Ý NGHĨA VẬT LÝ

a. Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm.

Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t$_0$ là đạo hàm của hàm số s = f(t) tại t$_0$.

v(t$_0$) = s'(t$_0$) = f'(t$_0$).

b. Cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:

Q = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm.

Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t$_0$ là đạo hàm của hàm số Q = f(t) tại t$_0$.

I(t$_0$) = Q'(t$_0$) = f'(t$_0$).