Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x$_0$ thì nó liên tục tại điểm đó.

 Chú ý:

1. Đảo lại không đúng, nghĩa là một hàm số liên tục tại điểm x$_0$ có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

Để minh hoạ ta xét hàm số y = f(x) = |x|

tại điểm x$_0$ = 0, ta có: f(0) = 0 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $|x| = 0.

Vậy, hàm số đã cho liên tục tại điểm x$_0$ = 0.

Mặt khác, ta có Δy = f(0 + Δx) – f(0) = |Δx| => $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\frac{{|\Delta x|}}{{\Delta x}}$ = $\left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,1\,\,\,khi\,\,\Delta x > 0\\ – 1\,\,\,khi\,\,\Delta x < 0\end{array} \right.$.

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = 1 và $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ – }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = -1 => $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ không tồn tại
=> hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x$_0$ = 0.

2. Như vậy, hàm số không liên tục tại x$_0$ thì không có đạo hàm tại điểm đó.