Ứng dụng của đạo hàm tìm tiếp tuyến hàm số

Khi bạn đã thành thục kiến thức công thức đạo hàm thì ta bắt đầu đi vào thực tế đó là đạo hàm có ứng dụng như thế nào? Bài toán tìm tiếp tuyến của hàm số là một trong những ứng dụng của đạo hàm, nó thường gặp hơn trong chương trình toán lớp 12.

Cơ sở lý thuyết

Tiếp tuyến tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số

Cho hàm số $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ và điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.

  • Tính đạo hàm $f’\left( x \right)$. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là $f’\left( {{x_0}} \right)$
  • phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: $y = f’\left( x \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$

Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

  •  Gọi Δ là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.
  • Giả sử $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm. Khi đó ${x_0}$ thỏa mãn: $f’\left( {{x_0}} \right) = k$(*) .
  • Giải (*) tìm ${x_0}$. Suy ra ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$.
  • Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y = k\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$

Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho hàm số $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ và điểm $A\left( {a;b} \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A.

  • Gọi Δ là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó $\left( \Delta \right):y = k\left( {x – a} \right) + b$(*)
  • Để Δ là tiếp tuyến của (C) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) = k\left( {x – a} \right) + b\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ {f^,}\left( x \right) = k\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$ có nghiệm.
  • Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Chú ý:

1. Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc (C) là: $k = f’\left( {{x_0}} \right)$

2. Cho đường thẳng $\left( d \right):y = {k_d}x + b$

  •  $\left( \Delta \right)//\left( d \right)$ $ \Rightarrow {k_\Delta } = {k_d}$ +) $\left( \Delta \right) \bot \left( d \right)$ $ \Rightarrow {k_\Delta }.{k_d} = – 1 \Leftrightarrow {k_\Delta } = – \frac{1}{{{k_d}}}$
  • $\left( {\Delta ,d} \right) = \alpha \Rightarrow \tan \alpha = \left| {\frac{{{k_\Delta } – {k_d}}}{{1 + {k_\Delta }.{k_d}}}} \right|$ +) $\left( {\Delta ,Ox} \right) = \alpha \Rightarrow {k_\Delta } = \pm \tan \alpha $

3. Cho hàm số bậc 3: $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\left( {a \ne 0} \right)$

  • Khi $a > 0$: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
  • Khi $a < 0$: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất.

Bài tập vận dung

Câu 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} – 3x + 1}}{{2x – 1}}\) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có phương trình là:

A. y = x – 1.

B. y = x + 1.

C. y = x.

D. y = – x.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: \(y’ = \frac{{2{x^2} – 2x + 1}}{{{{\left( {2x – 1} \right)}^2}}}\).

Giao điểm M của đồ thị với trục tung : \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = – 1\)

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : \(k = y’\left( 0 \right) = 1\).

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là : \(y = k\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = x – 1\).

Câu 2. Gọi (P) là đồ thị của hàm số . Phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm mà (P) cắt trục tung là:

A. \(y = – x + 3\).

B. \(y = – x – 3\).

C. \(y = 4x – 1\).

D. \(y = 11x + 3\).

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có : (P) cắt trục tung tại điểm \(M\left( {0;3} \right)\).

\(y’ = 4x – 1\)

Hệ số góc tiếp tuyến : \(y’\left( 0 \right) = – 1\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại \(M\left( {0;3} \right)\) là \(y = – 1\left( {x – 0} \right) + 3 = – x + 3\).

Câu 3. Cho hàm số $y = \frac{{2x – 4}}{{x – 3}}$ có đồ thị là \(({\rm{H}})\). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của \(({\rm{H}})\) với trục hoành là:

A. $y = 2x – 4$.

B. $y = – 2x$.

C. $y = – 2x + 4$.

D. $y = 2x$.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Giao điểm của \(({\rm{H}})\) với trục hoành là \(A(2;\,0)\). Ta có: $y’ = \frac{{ – 2}}{{{{(x – 3)}^2}}} \Rightarrow y'(2) = – 2$

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = – 2(x – 2)\) hay \(y = – 2x + 4\).

Hy vọng với bài viết này sẽ giúp em giải quyết tốt bài toán tìm tiếp tuyến. Mọi thắc mắc vui lòng để lại comment bên dưới.