Đạo hàm vận dụng cao

Bên cạnh lý thuyết thì các bài tập đạo hàm vận dụng cao thực sự quan trọng, nó giúp học sinh hiểu sâu hơn, giải quyết các bài toán ứng dụng đạo hàm hiệu quả. Bài viết này tổng hợp những bài đạo hàm vận dụng cao thường gặp:

Bài 1. Hãy tính đạo hàm của y = \sqrt{tan(sin^{3}4x)+x^{2}}

Giải

\Rightarrow y’ = \frac{(tan(sin^{3}4x)+x^{2})'}{2.\sqrt{tan(sin^{3}4x)+x^{2}}}

= \frac{[tan(sin^{3}4x)]'+2x}{2.\sqrt{tan(sin^{3}4x)+x^{2}}}

= \frac{(1+tan^{2}(sin^{3}4x)).(sin^{3}4x)'+2x}{2.\sqrt{tan(sin^{3}4x)+x^{2}}}

= \frac{(1+tan^{2}(sin^{3}4x)).3.sin^{2}4x.(sin4x)'+2x}{2.\sqrt{tan(sin^{3}4x)+x^{2}}}

= \frac{(1+tan^{2}(sin^{3}4x)).3.sin^{2}4x.cos4x.(4x)'+2x}{2.\sqrt{tan(sin^{3}4x)+x^{2}}}

= \frac{(1+tan^{2}(sin^{3}4x)).3.sin^{2}4x.cos4x.4+2x}{2.\sqrt{tan(sin^{3}4x)+x^{2}}}

= \frac{(1+tan^{2}(sin^{3}4x)).6.sin8x.sin4x+2x}{2.\sqrt{tan(sin^{3}4x)+x^{2}}}

Bài 2: Tìm đạo hàm của y = \frac{sin3x}{sin^{2}9x+5}

Giải

\Rightarrow y’ = \frac{(sin3x)'.(sin^{2}9x+5) - sin3x.(sin^{2}9x+5)'}{(sin^{2}9x+5)^{2}}

= \frac{3cos3x.(sin^{2}9x+5)-sin3x.2.sin9x.(sin9x)'}{(sin^{2}9x+5)^{2}}

= \frac{3cos3x.(sin^{2}9x+5)-sin3x.2.sin9x.cos9x.(9x)'}{(sin^{2}9x+5)^{2}}

= \frac{3cos3x.(sin^{2}9x+5)-9.sin18x.sin3x}{(sin^{2}9x+5)^{2}}

Bài 3. Đạo hàm y = sin2x.sin6x + sin^{2}8x

Giải

= \frac{1}{2}.(cos4x - cos8x) + sin^{2}8x

\Rightarrow y’ = -\frac{1}{2}.sin4x.(4x)' + \frac{1}{2}.sin8x.(8x) + 2.sin8x.(sin8x)'

= -\frac{1}{2}.sin4x.4 + \frac{1}{2}.sin8x.8 + 2.sin8x.cos8x.8

= -2.sin4x + 4.sin8x + 8.sin16x

Bài 4. Tìm đạo hàm của y = sin3x – 4sin^{3}2x

Giải

\Rightarrow y’ = (sin3x)’ – (4sin^{3}2x)

= 3cos3x – 4.3.sin22x.(sin2x)’

= 3cos3x – 12.sin22x.cos2x.(2x)’

= 3cos3x – 12.sin22x.cos2x.2

= 3cos3x – 12.sin4x.sin2x

Bài 5. Tính đạo hàm y = x^{8} - \frac{7x^{2}}{2x+5}

Giải

\Rightarrow y’ = 8x^{7} - \frac{(7x^{2})'.(2x+5)-7x^{2}.(2x+5)'}{(2x+5)^{2}}

= 8x^{7} - \frac{14x.(2x+5)-7x^{2}.2}{(2x+5)^{2}}

= 8x^{7} - \frac{28x^{2}+70x-14x^{2}}{(2x+5)^{2}}

= 8x^{7} - \frac{14x^{2}+70x}{(2x+5)^{2}}

Bài 6. Hãy tính đạo hàm y = 2x + 1 –\frac{8x}{x^{3}-7}

Giải

\Rightarrow y’ = 2 – \frac{(8x)'.(x^{3}-7)-8x.(x^{3}-7)'}{(x^{3}-7)^{2}}

= 2 – \frac{8.(x^{3}-7)-8x.3x^{2}}{(x^{3}-7)^{2}}

= 2- \frac{8x^{3}-56-24x^{3}}{(x^{3}-7)^{2}} = 2- \frac{-16x^{3}-56}{(x^{3}-7)^{2}}

Bài 7. Tìm đạo hàm của y = \frac{8x^{2}-4x}{2x + 10x^{6}}

Giải

\Rightarrow y’ = \frac{(8x^{2}-4x)'.(2x + 10x^{6})- (8x^{2}-4x).(2x + 10x^{6})'}{(2x + 10x^{6})^{2}}

= \frac{(16x-4).(2x + 10x^{6})-(8x^{2}-4x).(2+60x^{5})}{(2x + 10x^{6})^{2}}

= \frac{32x^{2}+160x^{7}-8x-40x^{6}-(16x^{2}+480x^{7}-8x-240x^{6})}{(2x + 10x^{6})^{2}}

= \frac{-320x^{7}+200x^{6}+16x^{2}}{(2x + 10x^{6})^{2}}