8+ công thức cấp số nhân đầy đủ

Giống như cấp số cộng thì cấp số nhân là một phép toán thường gặp trong đề thi THPT quốc gia. Bài viết này sẽ giúp bạn hệ thống lại các kiến thức về lý thuyết, công thức cấp số nhân, … và một số bài tập có lời giải chi tiết

cấp số nhân

Cấp số nhân là gì?

Một dãy số hữu hạn (hoặc vô hạn) mà tỷ số giữa hai số liên tiếp là một hằng số d thì dãy số đó là cấp số nhân (CSN).

Cơ sở lý thuyết

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) (hữu hạn hoặc vô hạn) là cấp số nhân \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = q.{u_n},\forall n \ge 1,n \in {N^*}\)

  • Công bội của cấp số nhân ký hiệu là q
  • u$_n$ và

Tính chất

  •  \(u_k^2 = {u_{k – 1}}.{u_{k + 1}},\forall k \ge 2\)
  • Số hạng tổng quát: \({u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}},n \ge 2\).
  •  Tổng n số hạng đầu: ${S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}}$
  • Khi q = 0 thì dãy là \({u_1};0;0;…;0;…\) và \({S_n} = {u_1}\)
  • Khi q = 1 thì dãy có đạng \({u_1};{u_1};{u_1};…;{u_1};…\)và \({S_n} = n.{u_1}\)
  • Khi \({u_1} = 0\) thì với mọi q, cấp số nhân có dạng \(0;0;0;…;0;…\)và \({S_n} = 0\)

Phân dạng bài tập cấp số nhân

Dạng 1: Nhận biết CSN

Bước 1: Tính $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}},\forall n \ge 1$

Bước 2: Kết luận:

  • Nếu q là số không đổi thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là CSN.
  • Nếu q thay đổi theo n thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) không là CSN.

Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân

Sử dụng các tính chất của CSN, biến đổi để tính công bội của CSN.

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}},n \ge 2\)

Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy

Để tính tổng của CSN với n số hạng đầu tiên trong dãy số, ta sử dụng công thức:

${S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}}$

Dạng 5: Tìm CSN

  • Tìm các yếu tố xác định một CSN như: số hạng đầu \({u_1}\), công bội q.
  • Tìm công thức cho số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}},n \ge 2\).

Bài tập cấp số nhân

Bài 1. [Đề thi thử sở Quảng Bình] Cho CSN $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – \frac{1}{2};{\text{ }}{{\text{u}}_7} = – 32$. Tìm q?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức số hạng tổng quát CSN ta có

$\begin{array}{l} {u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} \Rightarrow {u_7} = {u_1}.{q^6}\\ \Rightarrow {q^6} = 64 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} q = 2\\ q = – 2 \end{array} \right. \end{array}$

Câu 2. [Đề thi thử Chuyên KHTN ] Cho CSN $\left( {{u_n}} \right)$ với${u_1} = – 2;{\text{ q = – 5}}$. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát u$_n$ ?

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} {u_2} = {u_1}.q = \left( { – 2} \right).\left( { – 5} \right) = 10;{\rm{ }}\\ {{\rm{u}}_3} = {u_2}.q = 10.\left( { – 5} \right) = – 50;\\ {\rm{ }}{{\rm{u}}_4} = {u_3}.q = – 50.\left( { – 5} \right) = 250 \end{array}$
Số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}} = \left( { – 2} \right).{\left( { – 5} \right)^{n – 1}}$.

Bài 3. [Đề thi thử sở Thái Bình ] Cho CSN $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – 1;{\text{ }}q = \frac{{ – 1}}{{10}}$. Số $\frac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ mấy của $\left( {{u_n}} \right)$ ?

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} {u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}} \Rightarrow \frac{1}{{{{10}^{103}}}} = – 1.{\left( { – \frac{1}{{10}}} \right)^{n – 1}}\\ \Rightarrow n – 1 = 103 \Rightarrow n = 104 \end{array}$

Hy vọng với bài viết hệ thống lại toàn bộ lý thuyết, công thức, bài tập có lời giải ở trên hữu ích cho các bạn. Mọi góp ý và thắc mắc các bạn vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để daoham.com ghi nhận và hỗ trợ