Tuy cuối học kì II lớp 11, học sinh mới được học về đạo hàm nhưng bảng công thức đạo hàm là rất quan trọng. Những công thức trong bảng đạo hàm được sử dụng thường xuyên lớp 12. Đây là những kiến thức quan trọng bởi ngoài ứng dụng thực tế trong đời sống, thì nó còn được sử dụng học chương khảo sát hàm số dùng thi đại học.
Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
- Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b):$
$f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}=
\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ $(\Delta x = x – x_0, \Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)$ - Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại $x_0 $thì nó liên tục tại điểm đó.
Các công thức đạo hàm cơ bản
Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
Định lý 1: Hàm số \(y = {x^n}(n \in \mathbb{N},n > 1\)) có đạo hàm với mọi \(x \in\mathbb{R}\) và: \({\left( {{x^n}} \right)’} = n{x^{n – 1}}.\)
Nhận xét:
- (c)’=0 (với c là hằng số).
- (x)’=1.
Định lý 2: Hàm số \(y= \sqrt x\) có đạo hàm với mọi x dương và: \(\left( {\sqrt x } \right)’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)
Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Định lý 3: Giả sử \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:
- \({\left( {u + v} \right)’} = {u’} + {v’}\)
- \({\left( {u – v} \right)’} = {u’} – {v’}\)
- \({\left( {u.v} \right)’} = {u’}.v + u.{v’}\)
- \(\left ( \frac{u}{v} \right )’=\frac{u’v-uv’}{v^2},(v(x) \ne 0)\)
Mở rộng: \(({u_1} + {u_2} + … + {u_n})’ = {u_1}’ + {u_2}’ + … + {u_n}’.\)
Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: \((ku)’=ku’.\)
Hệ quả 2: \({\left( {\frac{1}{v}} \right)’} = – \frac{{ – v’}}{{{v^2}}}\) , \((v(x)\ne 0)\)
\((u.v.{\rm{w}})’ = u’.v.{\rm{w}} + u.v’.{\rm{w}} + u.v.{\rm{w}}’\)
Đạo hàm với hàm hợp
Định lý: Cho hàm số \(y=f(u)\) với u=u(x) thì ta có: \(y’_u=y’_u.u’_x.\)
Hệ quả:
- \(({u^n}) = n.{u^{n – 1}}.u’,n \in \mathbb{N}^*.\)
- \(\left( {\sqrt u } \right)’ = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}.\)
Bảng công thức đạo hàm
Đạo hàm cấp 2
Định nghĩa đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai
Hàm số y=f(x) có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\)
Khi đó y’=f'(x) xác định một hàm sô trên (a;b).
Nếu hàm số y’=f'(x) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x) tại x.
Kí hiệu: y” hoặc \(f”(x).\)
Công thức đạo hàm cấp cao (n)
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp \(n-1,\) kí hiệu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)(n \in \mathbb{N}, n\geq 4)\) và nếu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm câp n của \(y=f(x),\) kí hiệu \(y^{(n)}\) hoặc \(f^{(n)}(x).\)
\({f^{(n)}}(x) = {\rm{[}}{f^{(n – 1)}}(x){\rm{]}}’\)
Ý nghĩa
a)Ý nghĩa hình học:
- $f'(x_0)$ là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại $M\left( {{x_0};f({x_0})} \right)$.
- Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x$) tại $M\left( {{x_0};f({x_0})} \right)$ là: $y – y_0 = f'(x_0).(x – x_0)$
b)Ý nghĩa vật lí:
- Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s = s(t)$ tại thời điểm $t_0$ là $v(t_0) = s'(t_0)$.
- Cường độ tức thời của điện lượng $Q = Q(t)$ tại thời điểm $t_0$ là $I(t_0) = Q'(t_0)$.
Công thức đạo hàm lượng giác
Đạo hàm của hàm số y=sinx
Hàm số \(y=sin x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\sin x} \right)’ = \cos x.\)
Nếu y=sin u và u=u(x) thì \((sin u)’=u’. \cos u.\)
Đạo hàm của hàm số y=cosx
Hàm số \(y=\cos x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cos x} \right)’ =-\sin x.\)
Nếu y=cos u và u=u(x) thì \((cos u)’=-u’. \sin u.\)
Đạo hàm của hàm số y=tanx
Hàm số y=tan x có đạo hàm tại mọi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\tan x} \right)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\)
Nếu y=tan u và u=u(x) thì \(\left( {\tan u} \right)’ = \frac{{u’}}{{{{\cos }^2}u}}.\)
Đạo hàm của hàm số y=cotx
Hàm số \(y=\cot x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cot x} \right)’ = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\)
Nếu \(y=\cot u\) và u=u(x) thì \(\left( {\cot x} \right)’ = – \frac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}}\).
Bài viết trên đã giới thiệu với em những điểm cơ bản về đạo hàm. Khi đã hiểu, em hoàn toàn có thể xem phân dạng đạo hàm. Hy vọng sẽ giúp ích được cho em.
CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Phương pháp: Nếu tính đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ bằng định nghĩa ta thực hiện các bước:
- Bước 1: Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0$. Tính $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)$.
- Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.
- Bước 3: Kết luận.
Ví dụ 1: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của các hàm số sau: $y\, = \,\,f(x)\,\, = \,\,2{x^2} – x$ tại ${x_0} = 1$.
Giải
– Giả sử $\Delta{x}$ là số gia của đối số tại $x_0 = 1$.
Khi đó:
$\Delta y{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} f(\Delta x + 1){\mkern 1mu} {\kern 1pt} – f(1){\mkern 1mu} {\kern 1pt} $
$ = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 2{(\Delta x + 1)^2} – \Delta x – 1 – 1$
$ = 2\Delta {x^2} + 3\Delta x$
– Tính
$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\Delta {x^2} + 3\Delta x}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2\Delta x + 3} \right) = 3 \end{array}$
– Vậy: $f'(1) = 3$
Ví dụ 2: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số sau: $f(x)\,\, = \,\,{x^2} – 3x$
Giải:
– Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại x.
Khi đó:
$\begin{array}{l} \Delta y{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} f(\Delta x + x){\mkern 1mu} {\kern 1pt} – f(x){\mkern 1mu} {\kern 1pt} \\ = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {(\Delta x + x)^2} – 3\Delta x – 3x – {x^2} + 3x\\ = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2x\Delta x\\ = \Delta x(\Delta x + 2x) \end{array}$
– Tính:
$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta x(\Delta x + 2x)}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2x} \right) = 2x \end{array}$
– Vậy: $f'(x) = 2x$
Dạng 2: Tính đạo hàm bằng phép toán:
Ví dụ 1:
$\begin{array}{l} y{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 2{x^4} – \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} – 5\\ \Rightarrow y’ = 8{x^3} – {x^2} + 4x \end{array}$
Ví dụ 2:
$\begin{array}{l} y{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{{2x + 1}}{{1 – 3x}}\\ \Rightarrow y’ = \frac{{{{(2x + 1)}^,}(1 – 3x) – (2x + 1){{(1 – 3x)}^,}}}{{{{(1 – 3x)}^2}}}\\ = \frac{{2(1 – 3x) + 3(2x + 1)}}{{{{(1 – 3x)}^2}}} = \frac{5}{{{{(1 – 3x)}^2}}} \end{array}$
Dạng 3: Tính đạo hàm hàm hợp
Chú ý: Sau các hàm không phải $x$ thì ta sử dụng hàm hợp $u$. Để khỏi quên thì các em có thể sử dụng tất cả các bài toán đều cho hàm hợp $u$ vẫn được.
Ví dụ:
$\begin{array}{l} y{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {({x^2} + x)^4}\\ \Rightarrow y’ = 4{({x^2} + x)^3}.{({x^2} + x)^,}\\ = 4(2x + 1){({x^2} + x)^3} \end{array}$
Dạng 4: Tính đạo hàm cấp cao:
Phương pháp:
1.Để tính đạo hàm cấp $2,\, 3,\, 4,\, … $ta dung công thức: ${y^{(n)}}\,\, = \,\,{({y^{n – 1}})^/}.$
2.Để tính đạo hàm cấp $n$:
- Tính đạo hàm cấp $1,\, 2,\, 3, …$ từ đó suy ra công thức đạo hàm cấp $n$.
- Dùng phương pháp quy nạp toán học nêu chứng minh công thức đúng.
Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x) = 3(x + 1)\sin x$. Tính $f”(\pi )$.
Giải
$\begin{array}{l} f'(x) = 3(x + 1)’\sin x + 3(x + 1)\left( {\sin x} \right)’\\ = 3\sin x + 3(x + 1)c{\rm{osx}} \end{array}$
$\begin{array}{l} f”(x) = 3c{\rm{os}}x + 3(x + 1)’c{\rm{osx + }}3(x + 1)\left( {c{\rm{osx}}} \right)’\\ = 3\cos x + 3\cos x – 3(x + 1){\rm{sinx}} \end{array}$
$f”(\pi ) = 3\cos \pi + 3\cos \pi – 3(\pi + 1){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\pi = – 6$
Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số: $y = \frac{1}{x}$.
Giải
Ta có:$f'(x) = – \frac{1}{{{x^2}}}$
$f”(x) = \frac{{1.2}}{{{x^3}}}$
$f”'(x) = \frac{{1.2.3}}{{{x^4}}}$
$….$
${f^{(n)}}(x) = \frac{{{{( – 1)}^n}n!}}{{{x^{n + 1}}}}$
Suy ra: ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\left( n \right)}} = \frac{{{{( – 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}$
Thật vậy: Khi $n = 1$: Ta có: ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{‘}} = \frac{{( – 1).1!}}{{{x^2}}} = – \frac{1}{{{x^2}}}$.
Vậy: Mệnh đề đúng khi $n = 1$.
– Khi $n = k > 1$, tức là ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\left( k \right)}} = \frac{{{{( – 1)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}$.
Ta cần chứng minh: $n = k + 1$, tức là ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\left( k \right) + 1}} = \frac{{{{( – 1)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}$
$\begin{array}{l} {\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\left( {k + 1} \right)}} = {\left[ {{{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^k}} \right]^,} = {\left[ {\frac{{{{( – 1)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}} \right]^,}\\ = {( – 1)^k}.k!{\left[ {\frac{1}{{{x^{k + 1}}}}} \right]^,} = \frac{{{{( – 1)}^{k + 1}}.(k + 1)!}}{{{x^{k + 2}}}} \end{array}$
Vậy: Mệnh đề đúng khi $n =k+ 1$.
Dạng 5: Tính giới hạn của hàm số:
Phương pháp:
- Ta sử dụng công thức tính giới hạn lượng giác sau: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin u(x)}}{{u(x)}} = 1$ (với $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} u(x) = 0$).
- Ta sử dụng công thức: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P'(x)}}{{Q'(x)}}$ (lưu ý chỉ sử dụng khi giới hạn có dạng $\frac{0}{0}$)
Ví dụ 1:
Cách 1: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \,\,\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^4} – {x^3} + {x^2} – x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}} = \frac{5}{3}$
Cách 2: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \,\,\frac{{5{x^4}}}{{3{x^2}}} = \frac{5}{3}$
Ví dụ 2:
Cách 1: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x}}{{\sin 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{5\sin 5x}}{{5x}}}}{{\frac{{4\sin 4x}}{{4x}}}} = \frac{5}{4}\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5\sin 5x}}{{5x}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4\sin 4x}}{{4x}}}} = \frac{5}{4}$
Cách 2: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x}}{{\sin 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5c{\rm{os}}5x}}{{4c{\rm{os}}4x}} = \frac{{5\cos (5.0)}}{{4\cos (4.0)}} = \frac{5}{4}$
Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến:
Phương pháp:
1.Phương trình tiếp tuyến tai điểm $M(x_0; y_0) \in C$ là: $\,\,\,\,y – {y_0}\,\, = \,\,f'({x_0})(x – {x_0})\,\,\,\,\,\,$ (*)
2.Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$, biết tiếp tuyến có hệ số góc $k$:
- Bước 1: Gọi $x_0$ là hoành độ tiếp điểm. Ta có: $f\prime ({x_0}) = k$ (Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm)
- Bước 2: Giải phương trình tìm $x_0$, rồi tìm${y_0}\,\, = \,\,f({x_0}).$
- Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm theo công thức (*).
- Bước 4: Kết luận
3.Viết phương trình tiếp tuyến $(d)$ với $(C)$, biết $(d)$ đi qua một điểm $A(x_1; y_1)$ cho trước:
- Bước 1: Gọi $(x_0; y_0)$ là tiếp điểm (với $y_0 = f(x_0)$).
- Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d):
$(d)$ qua $A({x_1},\,\,{y_1})\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{y_1} – {y_0}\,\, = \,\,f'({x_0})\,\,({x_1} – {x_0})\,\,\,\,(1)$ - Bước 3: Giải phương trình $(1)$ với ẩn là $x_0$, rồi tìm ${y_0} = f({x_0})$ và $f'({x_0}).$
- Bước 4: Từ đó viết phương trình tiếp tuyến tại điểm theo công thức (*).
Chú ý: Cho $(\Delta): y = ax + b$. Khi đó:
- $(d)\, / / \,(\Delta )\,\,\, \Rightarrow \,\,{k_d} = a$
- $(d)\,\, \bot \,\,(\Delta )\,\,\, \Rightarrow \,\,{k_d} = – \frac{1}{a}$
Ví dụ : Cho hàm số $(C)$: $y\,\, = \,\,f(x)\,\, = \,{x^2} – 2x$ Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$:
a) Tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.
b) Tại điểm có tung độ $y_0=0$
c) Tại điểm $M(0;0)$.
d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = 2$.
Giải:
a) Tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.
– ${x_0}\,\, = \,1 \Rightarrow {y_0} = – 1$
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {1; – 1} \right)$: $y + 1 = y'(1)(x – 1) \Leftrightarrow y = – 1$
b) Tại điểm có tung độ ${y_0}\,\, = \,0$
${x^2} – 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.$
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {0;0} \right)$: $y – 0 = y'(0)(x – 0) \Leftrightarrow y = 2x$
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {2;0} \right)$: $y – 0 = y'(2)(x – 2) \Leftrightarrow y = 2x – 4$
c) Tại điểm $M(0;0)$.
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {0;0} \right)$: $y – 0 = y'(0)(x – 0) \Leftrightarrow y = 2x$
d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = 2$.
– Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Ta có: $f\prime ({x_0}) = 2 \Leftrightarrow 2{x_0} – 2 = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \Rightarrow A(2;0)$
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {2;0} \right)$: $y – 0 = y'(2)(x – 2) \Leftrightarrow y = 2x – 4$
– Vậy: Pttt: $y = 2x – 4$
Bài tự luyện
BT 1: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra:
a) $y\, = \,\,f(x)\,\, = \,\,2{x^2} – x + 2$ tại ${x_0} = 1$
b) $y\, = \,\,f(x)\,\, = \,\,\sqrt {3 – 2x} $ tại ${x_0} = -3$
c) $y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\frac{{2x + 1}}{{x – 1}}$ tại ${x_0} = 2$
d) $y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\sin x$ tại $x_0 =\frac{\pi}{6}$
e) $y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\sqrt[3]{x}$ tại $x_0 = 1$
f) $y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x – 1}}$ tại $x_0 = 0$
BT 2: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số sau:
a) $f(x)\,\, = \,\,{x^2} – 3x + 1$
b) $f(x)\,\, = \,\,\sqrt {x + 1} ,\,\,(x\,\, > \,\, – 1)$
c) $f(x)\,\, = \,\,\frac{1}{{2x – 3}}$
d) $f(x)\,\, = \,\,\sin x$
BT 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y\,\, = \,2{x^4} – \frac{1}{3}{x^3} + 2\sqrt x – 5$
b) $y\,\, = \,\,\frac{3}{{{x^2}}} – \sqrt x + \frac{2}{3}x\sqrt x $
c) $y\,\, = \,\,({x^3} – 2)(1 – {x^2})$
d) $y\,\, = \,\,({x^2} – 1)({x^2} – 4)({x^2} – 9)$
e) $y = ({x^2} + 3x)(2 – x)$
f) $y\,\, = \,\,\left( {\sqrt x + 1} \right)\,\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} – 1} \right)$
g) $y\,\, = \,\,\frac{3}{{2x + 1}}$
h) $y\,\, = \,\,\frac{{2x + 1}}{{1 – 3x}}$
i) $y = \frac{{1 + x – {x^2}}}{{1 – x + {x^2}}}$
k) $y\,\, = \,\,\frac{{{x^2} – 3x + 3}}{{x – 1}}$
BT 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y\,\, = \,x.c{\rm{osx}}$
b) $y\,\, = \,\,{x^2}.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$
c) $y\,\, = \,\,x.\sqrt x $
d) $y = \frac{{1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{1 – {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}$
Trên là hệ thống bảng công thức đạo hàm đầy đủ nhất, hy vọng nó sẽ hữu ích với bạn. Bài sau sẽ hướng dẫn bạn rèn luyện kĩ năng giải bài tập đạo hàm.
