by Định lí: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x$_0$ thì nó liên tục tại điểm đó.
Chú ý:
1. Đảo lại không đúng, nghĩa là một hàm số liên tục tại điểm x$_0$ có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
Để minh hoạ ta xét hàm số y = f(x) = |x|
tại điểm x$_0$ = 0, ta có: f(0) = 0 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $|x| = 0.
Vậy, hàm số đã cho liên tục tại điểm x$_0$ = 0.
Mặt khác, ta có Δy = f(0 + Δx) – f(0) = |Δx| => $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\frac{{|\Delta x|}}{{\Delta x}}$ = $\left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,1\,\,\,khi\,\,\Delta x > 0\\ – 1\,\,\,khi\,\,\Delta x < 0\end{array} \right.$.
Do đó $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = 1 và $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ – }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = -1 => $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ không tồn tại
=> hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x$_0$ = 0.
2. Như vậy, hàm số không liên tục tại x$_0$ thì không có đạo hàm tại điểm đó.
Để tiện cho việc học tập của bạn, chúng tôi có biên soạn các dạng bài tập đạo hàm kèm ví dụ có lời giải chi tiết sau đây:
